July | 2008 | Mathematical Diary

Phương trình Ma trận bậc nhất

July 20, 2008 Tuan Minh Leave a comment

Xin được bắt đầu về các phương trình ma trận với bài toán đơn giản nhất:

Bài toán 1: Tìm tất cả các ma trận $X$ có chiều $m\times n$ thỏa $AX=XB$

với các ma trận vuông $A$ cấp $m$ , $B$ cấp $n$ đã cho.

Phương trình trên tương đương với $A'Y=YB'$

trong đó $A', B'$ là dạng chuẩn tắc Jordan của $A, B$ (bạn đọc tự kiểm chứng)

Giả sử
$A'=\text{diag}(J_{{\alpha}_1}^{p_1}}, J_{{\alpha}_2}^{p_2}},...,J_{{\alpha}_s}^{p_s}})$
$B'=\text{diag}(J_{{\beta}_1}^{q_1}}, J_{{\beta}_2}^{q_2}},...,J_{{\beta}_r}^{q_r}})$

với ${\alpha}_1,{\alpha}_2,...,{\alpha}_s$ là các giá trị riêng của $A'$
${\beta}_1,{\beta}_2,...,{\beta}_r$ là các giá trị riêng của $B'$
và các chỉ số $p_i, q_i$ là chiều của các ma trận khối tương ứng
Lúc này xem như $Y$ là ma trận gồm các khối chữ nhật $Y_{ij}$ có chiều là $p_i\times q_j$

Khi đó, dễ dàng thu được
$({\beta}_j-{\alpha}_i)Y_{ij}=J_{p_i}Y_{ij}-Y_{ij}J_{q_j}$

trong đó $J_k$ là ma trận vuông cấp k có dạng

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & ... & 0 \\ 1 & 0 & ...& 0 \\ ... & \ddots & \ddots& 0 \\ 0 & ... & 1 & 0 \\ \end{pmatrix}$

a. Trường hợp ${\beta}_j\neq{\alpha}_i$

bằng quy nạp theo $r$ suy ra

$({\beta}_j-{\alpha}_i)^rY_{ij}=\sum_{k=1}^r{J_{p_i}^kY_{ij}J_{q_j}^{r-k}}\right)$

chọn $r\ge p_i+q_j-1$ . Khi đó $Y_{ij}=0$

b. Trường hợp ${\beta}_j={\alpha}_i$ . Ta có

$J_{p_i}Y_{ij}=Y_{ij}J_{q_j}$

Khi đó $Y_{ij}$ là ma trận có dạng:

+Nếu $p_i< q_j$

$\begin{pmatrix} a & b & ... & ... & x & y & z \\ 0 & a & b & ... & ... & x & y \\ 0 & ... & a & b & ...& ... & x \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & ... & 0 & 0 & a & b & ... \\ \end{pmatrix}$

+Nếu $p_i> q_j$

$\begin{pmatrix} 0 & ... & a & b & ... & x &y & z \\ 0 & ... & 0 & a & b &... & x & y \\ 0 & ... & ... & 0 & a& b & ... & x \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ... & ... & ...& ... & 0 & a & b \\ 0 & ... & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a \\ \end{pmatrix}$

+Nếu $p_i= q_j$

$\begin{pmatrix} a & b & ... & x &y & z \\ 0 & a & b &... & x & y \\ ... & 0 & a& b & ... & x \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ... & ...& ... & 0 & a & b \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a \\ \end{pmatrix}$

Một bài tập nhỏ: Xác định không gian nghiệm của phương trình $AX=XA$ , trong đó $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}$

Bài toán 2: Tìm tất cả các ma trận $X$ có chiều $m\times n$ thỏa $AX-XB=C$
với các ma trận vuông $A$ cấp $m$ , $B$ cấp $n$ đã cho.

Nghiệm của phương trình trên $X=X_0+X'$
trong đó $X_0$ là nghiệm riêng của phương trình đã cho, $X'$ là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất $AX=XB$ . (bạn đọc hãy kiểm chứng)

Tích Tensor các không gian Tuyến tính

July 19, 2008 Tuan Minh Leave a comment

Bài này nhằm mục đích giúp các bạn tiếp cận với Đại số Đa tuyến Tính một các trực quan trên cơ sở đã hiểu biết Đại số Tuyến tính, tránh bắt gặp ban đầu các lý thuyết quá trừu tượng… Hi vọng bạn đọc cho ý kiến đóng góp.

$V_1, V_2,...,V_k$ là các không gian tuyến tính với số chiều tương ứng là $n_1,...,n_k$ , các cơ sở tương ứng là
$\{e_{11},e_{12},...,e_{1n_1}\}, \{e_{21},e_{22},...,e_{2n_2}\},...,\{e_{k1},e_{k2},...,e_{kn_k}\}$ ,
V là một không gian tuyến tính

Một ánh xạ f từ $V_1\times V_2\times ...\times V_k\rightarrow V$ ,

được gọi là ánh xạ k-tuyến tính nếu là tuyến tính tại mỗi thành phần $u_i$ của $(u_1,u_2,...,u_k)\in V_1\times V_2\times ...\times V_k$ (khi cố định các thành phần còn lại). Ta có:

$\displaystyle f(\sum_{1\le i_1\le n_1} x_{1i_1}e_{1i_k},....,\sum_{1\le i_k\le n_k} x_{ki_k}e_{ki_k})$
$=\displaystyle\sum_{1\le i_j\le n_j, 1\le j\le k} x_{1i_1}x_{2i_2}...x_{ki_k}f(e_{1i_1},e_{2i_2},...,e_{ki_k})$

Như vậy f có thể xác định qua $n_1.n_2...n_k$ giá trị của $f(e_{1i_1},e_{2i_2}...,e_{ki_k})$ với $1\le i_j\le n_j, j=1,2,...,k$

Khi V có số chiều là 1, thì f gọi là dạng k-tuyến tính (hình dung lại dạng song tuyến tính quen thuộc)

Xét không gian $n_1.n_2...n_k$ chiều T với vector cơ sở có dạng $\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k}$ với $1\le i_j \le n_j, j=1,2,...,k.$

Ta xây dựng ánh xạ k-tuyến tính $\widehat{f}: V_1\times V_2\times ...\times V_k\rightarrow T$ sao cho

$\displaystyle f(\sum_{1\le i_1\le n_1} x_{1i_1}e_{1i_k},....,\sum_{1\le i_k\le n_k} x_{ki_k}e_{ki_k})$
$\displaystyle=\sum_{1\le i_j\le n_j, 1\le j\le k} x_{1i_1}x_{2i_2}...x_{ki_k}\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k}$

Khi đó có ánh xạ tuyến tính $\overline{f}:T\rightarrow V$ sao cho
$\overline{f}(\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k})=f(e_{1i_1},e_{2i_2},...e_{ki_k})$

Rõ ràng $\overline{f}\widehat{f}=f$

$\overline{f}$ xác định thỏa mãn đẳng thức trên là duy nhất theo f

Cặp $(T, \widehat{f})$ xây dựng như vậy gọi là tích Tensor của $V_1, V_2,...,V_k$ , kí hiệu $T=V_1\otimes V_2\otimes...\otimes V_k$

Người ta cũng kí hiệu $\widehat{f}(u_1,u_2,...,u_k)= u_1\otimes u_2\otimes...\otimes u_k$
với $(u_1,...,u_k)\in V_1\times V_2\times ...\times V_k$

Và do đó:

$\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k}= \widehat{f}(e_{1i_1},e_{2i_2},...,e_{ki_k})= e_{1i_1}\otimes e_{2i_2}\otimes...\otimes e_{ki_k}$

Categories: Matrix Theory Tags: Linear Algebra, Matrix Theory, tensor product

	Lê văn Bình on Hỏi và đáp
	AMA on Hỏi và đáp
	bengoc on Hỏi và đáp
	Tuan Minh on Hỏi và đáp
	Anonymous on Số Stirling loại II
	Nam on Hỏi và đáp
	phamquangtoan on Phương trình chuyển động …
	Tuan Minh on Phương trình chuyển động …
	phamquangtoan on Phương trình chuyển động …
	Tuan Minh on Số Stirling loại II

Mathematical Diary

Archive

Phương trình Ma trận bậc nhất

Tích Tensor các không gian Tuyến tính

Comments

Các chủ đề

Lưu trữ

Blog Links

Math Forums

Math Links

Non-math Links

Support Sites

Blog Stats

Tags

Follow “Mathematical Diary”