Archive

Archive for April, 2011

Chiều Hausdorff và năng lượng Bessel–Riesz

April 6, 2011 Leave a comment

Chiều Haudorff của một tập được định nghĩa là infimum của tập các giá trị d không âm sao cho độ đo Hausdorff d-chiều của tập đó bằng 0. Công việc tính chiều Haudorff của tập nào đó không phải lúc nào cũng thuận lợi, tuy nhiên với tập compact E trong \mathbb R^n ta có thể ước lượng chận trên bằng các chiều hộp Minkowski

\dim(E)\le \dim_{\text{lower box}}(E) \leq \dim_{\text{upper box}} (E)

Câu hỏi nảy sinh cho chận dưới được trả lời trong PhD thesis năm 1935 của Otto Frostman

Định lý 1. Giả sử tổn tại một độ đo xác suất \mu trên tập compact E\subset \mathbb R^d thỏa mãn: có các hằng số \alpha, C sao cho với r\in(0,1) thì

\mu(B_{\infty}(y,r))\le Cr^{\alpha}với \mu-hầu khắp các giá trị của y \in\mathbb R^d. Khi đó
\dim(E)\ge \alpha

Định lý 2. Nếu chiều của tập compact E không bé hơn \alpha thế thì với \beta<\alpha luôn tồn tại độ đo xác suất \mu trên E sao cho

\sup_{x\in\mathbb R^d}\sup_{r\in(0,1)}\frac{\mu(B_{\infty}(y,r))}{r^{\beta}}<\infty

Chúng ta gọi năng lượng Bessel–Riesz \alpha-chiều của độ đo xác suất \mu trên tập compact E\subset \mathbb R^d là đại lượng

\text{Energy}_{\alpha}(\mu)=\int_{\mathbb R^d}\int_{\mathbb R^d}|x-y|^{-\alpha}\mu(dx)\mu(dy)Capacity của E sẽ là đại lượng
\text{Cap}_{\alpha}(E)=(\inf_{\mu \in \mathcal{P}(E)} \text{Energy}_{\alpha}(\mu))^{-1}

Giả sử với giá trị nào đó của \alpha>0 thì \text{Cap}_{\alpha}(E)>0. Theo tính chất của inf, tồn tại dãy độ đo xác suất \mu_n trên E sao cho chúng có năng lượng hữu hạn và

(1+1/n)(\text{Cap}_{\alpha}(E))^{-1}\ge \text{Energy}_{\alpha}(\mu_n)\ge (\text{Cap}_{\alpha}(E))^{-1}
Giả sử \mu là giới hạn riêng của (\mu_n), thế thì \mu cũng là độ đo xác suất trên E hơn nữa \text{Energy}_{\alpha}(\mu_n)\ge (\text{Cap}_{\alpha}(E))^{-1}

Tồn tại dãy con (\mu_{n_k}) hội tụ yếu về \mu nên với r>0 ta có
\iint_{|x-y|\ge r}|x-y|^{-\alpha}\mu(dx)\mu(dy)=\lim_{k\to\infty}\iint_{|x-y|\ge r}|x-y|^{-\alpha}\mu_{n_k}(dx)\mu_{n_k}(dy)\le (\text{Cap}_{\alpha}(E))^{-1}

Khi r\to 0, áp dụng Lebesgue’s dominated convergence theorem ta suy ra

\text{Energy}_{\alpha}(\mu)= (\text{Cap}_{\alpha}(E))^{-1}

Độ đo xác suất \mu như vậy gọi là equilibrium measure.

Frostman cũng chỉ ra được rằng

Định lý 3
Nếu \mu như vậy gọi là equilibrium measure trên tập compact E, thế thì với \mu hầu khắp nơi x\in\mathbb R^d thế thì

\text{Energy}_{\alpha}(\mu)=\int_{\mathbb R^d}|x-y|^{-\alpha}\mu(dy)

Chúng ta định nghĩa capacitary dimension của một tập compact E\subset \mathbb R^d là chận trên đúng của giá trị \alpha sao cho \text{Cap}_{\alpha}(E)>0, kí hiệu là \dim_{\mathcal C}(E)

Điều rất thú vị là Capacitary dimension và Hausdorff dimension trùng nhau, điều này giúp ta có thể đánh giá chiều Hausdorff thông qua việc đánh giá sự hữu hạn của năng lượng Bessel–Riesz \alpha-chiều ứng với equilibrium measure.

Định lý 4.
Với tập compact E\subset \mathbb R^d thế thì

\dim(E)=\dim_{\mathcal C}(E)

Thật vậy, giả sử \mu như vậy gọi là equilibrium measure trên tập compact E, thế thì
\mu(B_{\infty}(x,r)\le r^{\alpha}\int_{\mathbb R^d}|x-y|^{-\alpha}\mu(dy)=\text{Energy}_{\alpha}(\mu) r^{\alpha}
Theo định lý 2 thì \dim(E)\ge \alpha, điều này suy ra \dim(E)\ge \dim_{\mathcal C}(E). (*)

Thep định lý 3, nếu \beta<\dim(E) thế thì tồn tại độ đo xác suất \mu trên E sao cho

\mu(B_{\infty}(x,r))\le C r^{\beta}, \forall x\in \mathbb R^d, r\in(0,1)

Khi đó
\text{Energy}_{\gamma}(\mu)=\sum_{i=0}^{\infty}\iint_{\frac{\text{diam}(E)}{2^{i+1}}\le|x-y|\le \frac{\text{diam}(E)}{2^{i}}}|x-y|^{-\gamma}\mu(dx)\mu(dy)
\le \sum_{i=0}^{\infty} \frac{2^{\gamma(i+1)}}{(\text{diam}(E))^{\gamma}} \sup_{x\in\mathbb R^d}\mu(B_{\infty}(x,\frac{\text{diam}(E)}{2^{i}}))
\le C 2^{\gamma}(\text{diam}(E))^{\beta-\gamma} \sum_{i=0}^{\infty} 2^{(\gamma-\beta)i}
hội tụ khi \gamma<\beta. Khi đó \text{Cap}_{\gamma}(E)>0 với mọi \gamma< \dim(E) hay \dim_{\mathcal C}(E)\ge \gamma với mọi \gamma< \dim(E), suy ra \dim_{\mathcal C}(E)\ge \dim(E). (**)
Từ (*),(**) ta được điều phải chứng minh.

Categories: Probability Theory, Real Analysis Tags: , ,

Xác suất thuộc vào của chuyển động Brownian d-chiều

April 5, 2011 Leave a comment

Để bắt đầu, bạn hãy thử chứng minh  bổ đề đơn giản liên quan đến chận trên và chặn dưới của xác suất thuộc vào hình lập phương đóng B_{\infty}(a,\epsilon)\subset \mathbb R^d của chuyển động Brownian d-chiều (B(t))_{t\ge 0} trên một đoạn thời gian đóng

Bổ đề. Với \epsilon>0, a\in R^d, thế thì với mọi t\in [0,T], tồn tại các hằng số dương C_1,C_2 chỉ phụ thuộc vào T, a sao cho

C_1 \left(\min\{ \frac{\epsilon}{\sqrt{t}}, 1 \}\right)^d\le P(|B(t)-a|\le \epsilon)\le C_2 \left(\min\{ \frac{\epsilon}{\sqrt{t}}, 1 \} \right)^d

(ở đây |x|=||x||_{\infty}=\max_{1\le 1\le d}\{|x_i|\})
Gợi ý: sử dụng hàm phân phối và chặn các tích phân.
Bây giờ xét với lọc \sigma-đại số (\mathcal{F}_t)_{t\ge 0} phù hợp với (B(t))_{t\ge 0}, và quá trình ngẫu nhiên

M_t=E(\int_{\alpha}^{\alpha+\beta}\mathbf{1}_{\{|B(s)-a|\le 2\epsilon\}}ds | \mathcal{F}_t)

là martingale phù hợp với lọc (\mathcal{F}_t)_{t\ge 0}. Rõ ràng rằng
M_t\ge \int_t^{\alpha+\beta}P(|B(s)-a|\le 2\epsilon|\mathcal{F}_t)ds
\ge \mathbf{1}_{\{|B(t)-a|\le \epsilon\}} \int_t^{\alpha+\beta}P(|B(s)-a|\le 2\epsilon|\mathcal{F}_t)ds
\ge \mathbf{1}_{\{|B(t)-a|\le \epsilon\}} \int_t^{\alpha+\beta}P(|B(s)-B(t)|\le \epsilon|\mathcal{F}_t)ds
= \mathbf{1}_{\{|B(t)-a|\le \epsilon\}} \int_t^{\alpha+\beta}P(|B(s-t)|\le \epsilon)ds
\ge \mathbf{1}_{\{|B(t)-a|\le \epsilon\}} \int_0^{\beta}P(|B(u)|\le \epsilon)du
với mọi t\in[\alpha, \beta]

Áp dụng Bổ đề, ta có

M_t\ge C \kappa_0(\epsilon) \mathbf{1}_{\{|B(t)-a|\le \epsilon\}}
, với mọi t\in(\alpha, \beta)

trong đó

\kappa_0(\epsilon)=\left\{\begin{matrix} \epsilon,\ \ d=1\\ \epsilon^2 \ln_+(\epsilon^{-1}),\ \ d=2\\ \epsilon^{d+2},\ \ d\ge 3 \end{matrix}\right.

Bây giờ ta đặt \tau=\inf\{ t\in[\alpha, \beta]\ :\ |B(t)-a|\le\epsilon \}, là hitting time của chuyển động Brownian trên [\alpha, \beta] với hình lập phương đóng B_{\infty}(a,\epsilon)

Khi đó

E(M_{\tau}\mathbf{1}_{\{\tau < \infty\}})\ge C \kappa_0(\epsilon) P(\inf_{t\in[\alpha,\beta]}\{|B(t)-a|\le \epsilon\})

Từ tính bị chặn của M_t và áp dụng Optional stopping theorem ta thu được kết quả đẹp về ước lượng chặn trên của hitting probability

Định lý. Tồn tại hằng số C sao cho

P(\inf_{t\in[\alpha,\beta]}\{|B(t)-a|\le \epsilon\})\le C \kappa(\epsilon)

trong đó \kappa(\epsilon)=\left\{\begin{matrix} 1,\ \ d=1\\ \frac{1}{\ln_+(1/\epsilon)},\ \ d=2\\ \epsilon^{d-2},\ \ d\ge 3 \end{matrix}\right.

Categories: Probability Theory Tags: ,
Follow

Get every new post delivered to your Inbox.