Linear Algebra | Mathematical Diary

Tích Kronecker

June 2, 2009 Tuan Minh Leave a comment

$V_1, V_2,...,V_k$ là các không gian tuyến tính với số chiều tương ứng là $n_1,...,n_k$ , các cơ sở tương ứng là
$\{e_{11},e_{12},...,e_{1n_1}\}, \{e_{21},e_{22},...,e_{2n_2}\},...,\{e_{k1},e_{k2},...,e_{kn_k}\}$

Xét các ánh xạ tuyến tính ${\varphi}_i: V_i\rightarrow W_i, i=1,2,...,k,$

Xét ánh xạ tuyến tính xác định bởi

$\psi: V_1\otimes V_2\otimes...\otimes V_k \rightarrow W_1\otimes W_2\otimes...\otimes W_k$

sao cho $\psi(e_{1i_1}\otimes e_{2i_2}\otimes...\otimes e_{ki_k})= {\varphi}_1(e_{1i_1})\otimes{\varphi}_2(e_{2i_1})\otimes...\otimes{\varphi}_1(e_{ki_k})$ trong đó $1\le i_j \le n_j, j=1,2,...,k.$

Dễ thấy $\psi(u_1\otimes u_2\otimes...\otimes u_k)={\varphi}_1(u_1)\otimes{\varphi}_2(u_2)\otimes...\otimes{\varphi}_k(u_k)$ với $(u_1,u_2,...,u_k)\in V_1\times V_2\times...\times V_k$

$\psi$ được gọi là tích tensor của các ánh xạ tuyến tính ${\varphi}_i, i=1,2,...,k$

Ta xét trường hợp tích tensor của hai ánh xạ tuyến tính

${\varphi}_1: V_1\rightarrow W_1$
${\varphi}_2: V_2\rightarrow W_2$

Với $\{e_1,e_2,...,e_n\}, \{e'_1,e'_2,...,e'_{n'}\},\{{\epsilon}_1,{\epsilon}_2,...,{\epsilon}_m \},\{{\epsilon'}_1,{\epsilon'}_2,...,{\epsilon'}_{m'} \}$ tương ứng là cơ sở của $V_1, V_2, W_1, W_2$

Và $\displaystyle{\varphi}_1(e_j)=\sum_{i=1}^{m} a_{ij}{\epsilon}_i$ với $j=1,2,...,n$
$\displaystyle{\varphi}_2(e'_q)=\sum_{p=1}^{m'} b_{pq}{\epsilon'}_p$ với $q=1,2,...,n'$

Khi đó
$\displaystyle{\varphi}_1\otimes{\varphi}_2(e_j\otimes e'_q)=\sum_{1\le i\le m, 1\le p\le m'} a_{ij} b_{pq} {\epsilon}_i \otimes{\epsilon'}_p,$
với $j=1,2,...,n$ và $q=1,2,...,n'$

Xét các ma trận tương ứng của ${\varphi}_1$ và ${\varphi}_2$ là $A=(a_{ij}), B=(b_{pq})$ . Ma trận tương ứng của ${\varphi}_1\otimes{\varphi}_2$ gọi là tích Kronecker của A và B, ký hiệu $A\otimes B$ .

Như vậy $A\otimes B$ có dạng khối $(a_{ij}B)$ hay $(b_{pq}A)$

Ta có các kết quả sau:

Với A là ma trận cấp $m\times n$ , B là ma trận cấp $p\times q$

1. $(\sum_{i=1}^rA_i)\otimes(\sum_{j=1}^sBj)=\sum_{i=1}^r\sum_{i=1}^sA_i\otimes Bj$
2. $(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD$ , với A, B, C, D phù hợp nhau về số chiều trong tích ma trận thông thường
3. $A\otimes B=(A\otimes I_p)diag(B,B,...,B)$
4. A, B trực giao hoặc lũy linh thì tích Kronecker cũng trực giao hoặc lũy linh
5. $(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}$ , với A, B khả nghịch
6. $(A\otimes B)^T=A^T\otimes B^T$

Categories: Matrix Theory Tags: Kronecker Product, Linear Algebra, Matrix Theory

Tích Tensor các không gian Tuyến tính

July 19, 2008 Tuan Minh Leave a comment

Bài này nhằm mục đích giúp các bạn tiếp cận với Đại số Đa tuyến Tính một các trực quan trên cơ sở đã hiểu biết Đại số Tuyến tính, tránh bắt gặp ban đầu các lý thuyết quá trừu tượng… Hi vọng bạn đọc cho ý kiến đóng góp.

Một ánh xạ f từ $V_1\times V_2\times ...\times V_k\rightarrow V$ ,

được gọi là ánh xạ k-tuyến tính nếu là tuyến tính tại mỗi thành phần $u_i$ của $(u_1,u_2,...,u_k)\in V_1\times V_2\times ...\times V_k$ (khi cố định các thành phần còn lại). Ta có:

$\displaystyle f(\sum_{1\le i_1\le n_1} x_{1i_1}e_{1i_k},....,\sum_{1\le i_k\le n_k} x_{ki_k}e_{ki_k})$
$=\displaystyle\sum_{1\le i_j\le n_j, 1\le j\le k} x_{1i_1}x_{2i_2}...x_{ki_k}f(e_{1i_1},e_{2i_2},...,e_{ki_k})$

Như vậy f có thể xác định qua $n_1.n_2...n_k$ giá trị của $f(e_{1i_1},e_{2i_2}...,e_{ki_k})$ với $1\le i_j\le n_j, j=1,2,...,k$

Khi V có số chiều là 1, thì f gọi là dạng k-tuyến tính (hình dung lại dạng song tuyến tính quen thuộc)

Xét không gian $n_1.n_2...n_k$ chiều T với vector cơ sở có dạng $\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k}$ với $1\le i_j \le n_j, j=1,2,...,k.$

Ta xây dựng ánh xạ k-tuyến tính $\widehat{f}: V_1\times V_2\times ...\times V_k\rightarrow T$ sao cho

$\displaystyle f(\sum_{1\le i_1\le n_1} x_{1i_1}e_{1i_k},....,\sum_{1\le i_k\le n_k} x_{ki_k}e_{ki_k})$
$\displaystyle=\sum_{1\le i_j\le n_j, 1\le j\le k} x_{1i_1}x_{2i_2}...x_{ki_k}\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k}$

Khi đó có ánh xạ tuyến tính $\overline{f}:T\rightarrow V$ sao cho
$\overline{f}(\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k})=f(e_{1i_1},e_{2i_2},...e_{ki_k})$

Rõ ràng $\overline{f}\widehat{f}=f$

$\overline{f}$ xác định thỏa mãn đẳng thức trên là duy nhất theo f

Cặp $(T, \widehat{f})$ xây dựng như vậy gọi là tích Tensor của $V_1, V_2,...,V_k$ , kí hiệu $T=V_1\otimes V_2\otimes...\otimes V_k$

Người ta cũng kí hiệu $\widehat{f}(u_1,u_2,...,u_k)= u_1\otimes u_2\otimes...\otimes u_k$
với $(u_1,...,u_k)\in V_1\times V_2\times ...\times V_k$

Và do đó:

$\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k}= \widehat{f}(e_{1i_1},e_{2i_2},...,e_{ki_k})= e_{1i_1}\otimes e_{2i_2}\otimes...\otimes e_{ki_k}$

Categories: Matrix Theory Tags: Linear Algebra, Matrix Theory, tensor product

	Lê văn Bình on Hỏi và đáp
	AMA on Hỏi và đáp
	bengoc on Hỏi và đáp
	Tuan Minh on Hỏi và đáp
	Anonymous on Số Stirling loại II
	Nam on Hỏi và đáp
	phamquangtoan on Phương trình chuyển động …
	Tuan Minh on Phương trình chuyển động …
	phamquangtoan on Phương trình chuyển động …
	Tuan Minh on Số Stirling loại II

Mathematical Diary

Archive

Tích Kronecker

Tích Tensor các không gian Tuyến tính

Comments

Các chủ đề

Lưu trữ

Blog Links

Math Forums

Math Links

Non-math Links

Support Sites

Blog Stats

Tags

Follow “Mathematical Diary”