Archive

Posts Tagged ‘Malliavin Derivative’

Đạo hàm Malliavin

July 12, 2010 Leave a comment

Xét không gian Hilbert khả tách \mathcal H được trang bị tích vô hướng \langle.,.\rangle và chuẩn \|.\| tương ứng.  Thế thì tồn tại không gian xác suất (\Omega, \mathcal{G},\mu) cùng với quá trình ngẫu nhiên (W_h)_{h\in \mathcal H} tuyến tính theo quỹ đạo và ứng với mỗi h cố định thì W_h\in L^2(\Omega, \mathcal{G},\mu) là biến ngẫu nhiên Gauss, hơn nữa \mathbf{E}(W_h)=0, \mathbf{cov}(W_{h_1}W_{h_2})=\langle h_1, h_2\rangle . Xét (e_1,e_2,...) là cơ sở trực chuẩn cố định của \mathcal H.

Thí dụ:

1. \mathcal H=L^2([0,\infty) và tích phân Wiener \displaystyle W_h=\int_0^{\infty}h(t)dW_t với W_t là quá trình Wiener 1 chiều.

2. \mathcal{H}=L^2(X, \mathcal{A}, m) là không gian độ đo \sigma-hữu hạn, và không tồn tại tập có đo dương không chứa thêm tập con nào nữa có độ đo dương bé hơn (tập hạt nhân). Ồn trắng (W(A))_{A\in \mathcal{A}_f}  (\mathcal{A}_f là lớp tất cả các tập có độ đo hữu hạn, xem như là tập chỉ số) là một một quá trình Gauss  sao cho W(A)\in L^2(\Omega, \mathcal G, \mu), \mathbf{E}(W(A))=0 và \mathbf{cov}(W(A), W(B))=\mathcal{L}(A\cap B) (\mathcal{L} – độ đo Lebesgue) và W(A\cup B)=W(A)+W(B) nếu A\cap B=\emptyset. Với tập A có độ đo hữu hạn, đặt W(1_A)=W(A), từ đó mở rộng cho các hàm đơn giản trên X, và cuối cùng do tính trù, ta mật xây dựng được W(h) với các hàm khả tích bậc hai h\in L^2(X, \mathcal{A}, m).

Trở lại vấn đề của bài viết, kí hiệu \mathcal P là lớp tất cả các biến ngẫu nhiên có dạng

F=f(W(h_1),W(h_2),....,W(h_n)),\ h_1, h_2,...,h_n\in\mathcal{H}, \ n\ge 1, với hàm trơn f và các đạo hàm riêng của nó có độ tăng bậc đa thức. Dễ thấy \mathcal P là tập con trù mật của L^2(\Omega, \mathcal G, \mu).

Ta định nghĩa đạo hàm Malliavin của F\in \mathcal P là biến ngẫu nhiên giá trị thuộc \mathcal H:

\displaystyle DF=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_k}(W(h_1), W(h_2),...,W(h_n))h_k.

Nó thỏa mãn quy tắc Leibnitz \displaystyle D(FG)=FDG+GDF.

Các tính chất đẹp:

1. \displaystyle \mathbf{E}(\langle DF,h\rangle_{\mathcal{H}})=\mathbf{E}(FW(h))

2. \displaystyle \mathbf{E}(G\langle DF,h\rangle_{\mathcal{H}})=\mathbf{E}(-F\langle DG,h \rangle_{\mathcal{H}}+FGW(h))

Vận dụng (2) bạn có thể chứng minh tính đóng được của toán tử \displaystyle D từ \displaystyle L^p(\Omega, \mathcal{G},\mu) vào \displaystyle L^p(\Omega, \mathcal {H}) với \displaystyle p\ge 1.

Với \displaystyle p\ge 1, kí hiệu \displaystyle \mathbb{D}^{1,p} là bao đóng của \mathcal P ứng với nửa chuẩn:

\displaystyle \|F\|_{1,p}=\left(\mathbf{E}(|F|^p)+\mathbf{E}(\|DF\|_{\mathcal{H}}^p\right)^{1/p}.

Đặt biệt với \displaystyle p=2, thì \displaystyle \mathbb{D}^{1,2} xem như là không gian Hilbert với tích vô hướng:

\displaystyle \langle F, G\rangle_{1,2}= \mathbf{E}(FG)+\mathbf{E}(\langle DF, DG\rangle_{\mathcal{H}}).

Định nghĩa một cách đệ quy cho đạo hàm cấp cao \displaystyle D^kF, F\in \mathcal{P} là vector ngẫu nhiên có giá trị thuộc không gian tích tensor \displaystyle \mathcal{H}^{\otimes k}. D^k cũng là toán tử đóng được từ L^p(\Omega, \mathcal{G}, \mu) vào L^p(\Omega,\mathcal{H}^{\otimes k}).

Với \displaystyle k\in \mathbb{Z}_+, p\ge 1, kí hiệu \displaystyle \mathbb{D}^{k,p} là bao đóng của \mathcal P ứng với nửa chuẩn:

\displaystyle \|F\|_{k,p}=\left(\mathbf{E}(|X|^p)+\sum_{l=1}^k\mathbf{E}(\|D^lF\|^p_{\mathcal{H}^{\otimes k}}\|)\right)^{1/p}.

Kí hiệu

\displaystyle \mathbb{D}^{\infty}=\bigcap_{k,p} \mathbb{D}^{k,p}.

Chú ý là với \displaystyle k \ge 1, p > q ta có quan hệ lồng nhau: \displaystyle \mathbb{D}^{k,p}\subset \mathbb{D}^{k-1,q}.

Bằng cách lấy giới hạn, ta có thể xác định đạo hàm Malliavin D^kF với \displaystyle F\in\mathbb{D}^{k,p}\subset L^p(\Omega, \mathcal{G},\mu) tương ứng.

Đạo hàm Malliavin thỏa mãn luật xích theo nghĩa: Cho \displaystyle \phi:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} khả vi liên tục với các đạo hàm riêng bị chặn, các biến ngẫu nhiên \displaystyle F_1,F_2,...,F_n\in \mathbb{D}^{1,p} thế thì \displaystyle \phi(F_1,F_2,...,F_n)\in \mathbb{D}^{1,p} và

\displaystyle D(\phi(F_1,F_2,...,F_n))=\sum_{k=1}^n \frac{\partial \phi}{\partial x_i}(F_1,F_2,...,F_n)DF_i.

Với \displaystyle F\in \mathbb{D}^{k,p}, G\in \mathbb{D}^{k,q}, k\in \mathbb{Z}_+, 1<p,q<\infty và \displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q} thế thì \displaystyle FG\in \mathbb{D}^{k,r} và bất đẳng thức loại Holder sau được thỏa mãn

\displaystyle\|FG\|_{k,r}\le C(p,q,k)\|F\|_{k,p}\|G\|_{k,q},

ở đây \displaystyle C(p,q,k) là hằng số nào đó chỉ phụ thuộc \displaystyle p,q,k.

Categories: Stochastic Calculus of Variations Tags: , , ,
Follow

Get every new post delivered to your Inbox.