Phương pháp Newton cho hệ phi tuyến

Lý thuyết xấp xỉ nghiệm của hệ phi tuyến tổng quát bằng phương pháp Newton có thể xem trong bài báo dưới đây 

http://benisrael.net/Newton-MP.pdf

Ở đây giới thiệu maplet cho bài xấp xỉ nghiệm của hệ phi tuyến bẳng phương pháp Newton hiểu theo nghĩa cổ điển.

Thí dụ giải hệ phương trình

Trước hết lập một vài procedure cần thiết

> with(LinearAlgebra): with(MTM):
> F:=proc(F1,F2,x,y) local f1,f2;      # Lập vector hàm
f1:= proc (x,y) options operator, arrow; F1 end proc;
f2:= proc (x,y) options operator, arrow; F2 end proc;
return (Vector([f1(x,y),f2(x,y)]));
end proc:

> JacobianMatrix := proc (F1,F2,x,y) local f1,f2;    # tính ma trận Jacobian
f1:= proc (x,y) options operator, arrow; F1 end proc;
f2:= proc (x,y) options operator, arrow; F2 end proc;
return (jacobian(Vector([f1(x,y),f2(x,y)]),Vector([x,y])))
end proc:

> V := proc (n::nonnegint,F1,F2,x,y)  #  Tìm nghiệm gần đúng bằng đệ quy
if n = 1 then return Vector([-1, 1]);             
         else return (
V(n-1,F1,F2,x,y)-MatrixVectorMultiply(
MatrixInverse(eval(JacobianMatrix(F1,F2,x,y),[x=V(n-1,F1,F2,x,y)[1],y=V(n-1,F1,F2,x,y)[2]])),
eval(F(F1,F2, x,y),[x=V(n-1,F1,F2,x,y)[1],y=V(n-1,F1,F2,x,y)[2]] ))                     );
end if;
end proc:

> U:=proc(F1,F2,x,y,e) local n;  # Tìm nghiệm gần đúng với sai số là  e
n:=1;
while (VectorNorm(V(n+1,F1,F2,x,y)-V(n,F1,F2,x,y))> e) do
           n:=n+1; end do;  
return(evalf(V(n,F1,F2,x,y)));
end proc:

Có thể test một số hệ phương trình hai biến (dĩ nhiên có thể xảy ra trường hợp phương trình vô nghiệm, hoặc không hội tụ, tuy nhiên trong giải thuật ở trên được xin bỏ qua những điều này, việc bổ sung và tổng quát giải thuật không có nhiều khó khăn), chẳng hạn với ví trên

>  U(x^3-y+1, 2*x+y+3, x, y, 1/1000000);

Kết quả: 

Lập một maplet là bước cuối cùng để thu được sản phẩm phần mềm hữu ích
> with(Maplets[Elements]):

> maplet := Maplet(
Window(‘title’ = “Solving System of Equations”, ‘toolbar’ = ‘TB’,
[["Enter the 1st function with variables x,y"], [TextField['f1'](30)],
["Enter the 2nd function with variables x,y"], [TextField['f2'](30)],
["Enter tolerance", TextField['e'](12)],
["Solution"],[MathMLViewer['ML']()]]),

ToolBar[TB](
ToolBarButton(caption = “Do It”, image = Image(“run.png”), onclick=Evaluate(‘ML’='U(f1,f2,x,y,e)’)),
ToolBarSeparator(),
ToolBarButton(caption = “About”, image = Image(“about.png”), onclick = RunDialog(‘DG’)),
ToolBarSeparator(),
ToolBarButton(caption = “Exit”, image = Image(“exit.png”), onclick = Shutdown())),
 
MessageDialog[DG](“Solving System of Equations. Copyringt (C) 2009 Mathematical Diary”)):

> Maplets[Display](maplet);

Popup Menu

PopupMenu là một đối tượng dạng menu xuất hiện khi ta kích chuột phải trên cửa sổ ứng dụng, hoặc cục bộ trên các đối tượng TextBox hoặc TextField. Như vậy nó là được coi như là một option của Window hoặc của đối tượng TextBox, TextField. PopupMenu bao gồm các Menu, MenuSeparator, MenuItem.

Thí dụ sau đây về ứng dụng tính đạo hàm của hàm hai biến. Trong đó một TextField để input hàm hai biến cần tính, PopupMenu của nó gồm:

- Menu: gồm hai ItemMenu tương ứng với hai chứng năng là tính đạo hàm theo hoặc theo và output ra một MathMLViewer.

- MenuSeparator (dấu ngăn cách)

- MenuItem: Thoát khỏi ứng dụng.

Thực hiện như sau

> with(Maplets[Elements]):

> MyMaplet := Maplet(Window(title=”Differentiate Calculator”,

[

["Enter a function with variables x and y"],

TextField['TF'](‘popupmenu’ = ‘PM’, ‘value’ = “cos(x^2)+sin(x*y^2)”),

["The result is"],

MathMLViewer['ML'](),

Button(“Exit”, Shutdown())

]),

PopupMenu['PM'](

Menu(“Differentiate”,

MenuItem(“With respect to x”, Evaluate(‘ML’ = ‘diff(TF, x)’)),

MenuItem(“With respect to y”, Evaluate(‘ML’ = ‘diff(TF, y)’))

),

MenuSeparator(),

MenuItem(“Exit Maplet application”, Shutdown())

)

):

> Maplets[Display](MyMaplet)

Kết quả ta được

Tool Bar

Tool Bar – Thanh công cụ là đối tượng thường thấy trong các cửa sổ chương trình ứng dụng, nó là một dãy các nút công cụ được xếp trên một thanh thường nằm ở vị trí ở lề dọc hoặc lề ngang. Nó cũng đồng chức năng như button hay menu tuy nhiên thân thiện và dễ sử dụng hơn. Chúng ta sẽ làm quen với đối tượng Toolbar trong một ứng dụng Maplet.

Cú pháp chung

> with(Maplets[Elements]):

> MyMaplet := Maplet(Window(‘title’ = “My Maplet Application”, ‘toolbar’ = ‘TB’,

 [

# Phần thân của cửa sổ

]),

ToolBar[TB](

ToolBarButton(caption = “Tool 1″, image = Image(“image1.png”), onclick = <Command>),

ToolBarSeparator(),

ToolBarButton(caption = “Tool 2″, image = Image(“image2.png”), onclick =<Command>),

 ToolBarSeparator(),

….

ToolBarButton(caption = “Tool n”, image = Image(“imagen.png”), onclick = <Command>)

)):

> Maplets[Display](MyMaplet);

Trong đó chú ý các file hình ảnh phải được lưu cùng thư mục với file maple worksheet, và nếu bạn export thành file maplet thì cũng cần các file này đi kèm.

Thí dụ: Tạo một ứng dụng tính tích phân bất định với ToolBar có các chức năng:

- Run: Tính tích phân.

- About: Thông tin về ứng dụng

- Exit: Thoát khỏi chương trình.

Ta thực hiện như sau:

> with(Maplets[Elements]):

> myMaplet := Maplet(Window(‘title’ = “Integration calculator”, ‘toolbar’ = ‘TB’,

[["Enter a function with variable x"],

[TextField['TF'](40)],

["Result of integration"],

[MathMLViewer['ML']()]]),

ToolBar[TB](ToolBarButton(caption = “Do It”, image = Image(“run.png”), onclick = Evaluate(‘ML’ = ‘Int(TF, x) = int(TF, x) + C’)),

ToolBarSeparator(),

ToolBarButton(caption = “About”, image = Image(“about.png”), onclick = RunDialog(‘DG’)),

ToolBarSeparator(),

ToolBarButton(caption = “Exit”, image = Image(“exit.png”), onclick = Shutdown())

),

MessageDialog[DG](“Integration Calculator. Copyringt (C) 2009 Mathematical Diary”)):

> Maplets[Display](myMaplet);

Các file nguồn, download ở đây (corrected)

Ta có kết quả là cửa sổ như sau

 Một số file hình ảnh mẫu có thể hữu ích bạn có thể tham khảo thêm ở đây

Tổng quan về Maplets Package

Maplets pakage là tập hợp bao gồm các lệnh (commands) được tổ hợp để tạo và biểu diễn các ứng dụng Maplet (giao diện point-and-click).

Maplets pakage được phân thành các gói con (subpakages): Elements, Tools, Utilities, Examples

Gói Elements

 Tập hợp bao gồm các lệnh dùng để tạo các đối tượng (Elements) trong một ứng dụng Maplet, thí dụ: windows, buttons, checkboxs …

Gói này gồm có:

Action	AlertDialog	Argument	BorderLayout
BoxCell	BoxColumn	BoxLayout	BoxRow
Button	ButtonGroup	CheckBox	CheckBoxMenuItem
CloseWindow	ColorDialog	ComboBox	ConfirmDialog
DropDownBox	Evaluate	FileDialog	Font
GridCell	GridCell2	GridLayout	GridRow
HorizontalGlue	Image	InputDialog	Item
Label	ListBox	Maplet	MathMLEditor
MathMLViewer	Menu	MenuBar	MenuItem
MenuSeparator	MessageDialog	PasswordField	Plotter
PopupMenu	QuestionDialog	RadioButton	RadioButtonMenuItem
Return	ReturnItem	RunDialog	RunWindow
SetOption	Shutdown	Slider	Table
TableHeader	TableItem	TableRow	TextBox
TextField	ToggleButton	ToolBar	ToolBarButton
ToolBarSeparator	VerticalGlue	Window

 

Được chia thành các nhóm: 

- Window Body: các đối tượng trên thân cửa sổ chương trình

- Menu: các đối tượng của thanh Menu

- ToolBar: các đối tượng trên thanh công cụ

- Dialog: các đối tượng hộp thoại

- Command: các đối tượng thực thi

- Layout : các đối tượng layout

và các đối tượng còn lại

> with(Maplets[Elements]):   # khai báo subpackage

> myMaplet := Maplet(

Window(<Option>,            # Các tùy chọn cho cửa sổ chính

[  # Phần thân của cửa sổ

[<Element>, <Element>, .... , <Element>], # Các element trên một hàng

[<Element>, <Element>, .... , <Element>],

…

[<Element>, <Element>, .... , <Element>],

]),

<Reference>  # Định nghĩa các tham chiếu được sử dụng

):  

>Maplets[Display](myMaplet); # Chạy chương trình có tên là MyMaplet có nội dung như trên

Gói Tools

Gói này gồm có

AddAttribute	AddContent	Get	ListBoxSplit
Print	Set	SetTimeout	StartEngine
StopEngine

Gói Utilities

Gói này gồm có

ErrorDialog

GetFile

HelpBrowser

Gói Examples

Bao gồm những mẫu maplet viết sẵn, có thể dùng để nhúng vào các  maple worksheet

Cú pháp chung

>with(Maplets[Examples]):

>Command();

Không cần dùng lệnh Display để chạy các maplet mẫu từ gói này

 Gói này gồm có

Alert	Confirm	GetColor	GetEquation
GetExpression	GetFile	GetInput	Integration
KernelOpts	Message	Question	Selection
ShowTable	SignQuery

Thí dụ:

> with(Maplets[Examples]):

  

> GetEquation();

 

Khi đó ứng dụng maplet mẫu GetEquation sẽ được tự động tạo ra như sau

 

 

Kết quả là phương trình nhập vào khung, sau khi nhấp OK sẽ được print ra worksheet. 

 

Tổng quan về Maplets

Các ứng dụng Maplets là gì?

Một ứng dụng Maplet đó là một chương trình với giao diện đồ họa người sử dụng (GUI – graphical user interface) bao gồm các đối tượng: windows, textboxs, menus, buttons và hàng loạt các visual interfaces khác. Các ứng dụng maplet chạy trên nền Java Runtime Environment[TM].

Các thuật ngữ cơ bản

- Window: cửa sổ trên đó bao gồm nhiều đối tượng khác, các đối tượng này có thể điều khiển các chức năng và cách bố trí của window. Một ứng dụng Maplet có thể gồm nhiều windows

- Dialog: hộp thoại, chứa các đối tượng khác tuy nhiên không giống với window là các đối tượng của nó có một cấu trúc địịh trước.

- Elements: các đối tượng, tập hợp các đối tượng sẽ tạo một ứng dụng Maplet, thí dụ: windows, buttons, and check boxes

- Layout: bố trí, một cách bố trí sẽ xác định các đối tượng trong Maplet sẽ được biểu diễn như thế nào.

Cách tạo các ứng dụng Maplets

Có hai cách để tạo các ứng dụng Maplets:

- Sử dụng Maplets package (syntax-based)

- Sử dụng Maplet builder (GUI-based)

Những phần này sẽ được đề cập chi tiết trong các bài sau.