Archive

Archive for July, 2008

Phương trình Ma trận bậc nhất

July 20, 2008 Leave a comment

Xin được bắt đầu về các phương trình ma trận với bài toán đơn giản nhất:

Bài toán 1: Tìm tất cả các ma trận có chiều thỏa

với các ma trận vuông cấp , cấp đã cho.

Phương trình trên tương đương với

trong đó là dạng chuẩn tắc Jordan của (bạn đọc tự kiểm chứng)

Giả sử

với là các giá trị riêng của
là các giá trị riêng của
và các chỉ số là chiều của các ma trận khối tương ứng
Lúc này xem như là ma trận gồm các khối chữ nhật có chiều là

Khi đó, dễ dàng thu được

trong đó là ma trận vuông cấp k có dạng

a. Trường hợp

bằng quy nạp theo suy ra

chọn . Khi đó

b. Trường hợp . Ta có

Khi đó là ma trận có dạng:

+Nếu

+Nếu

+Nếu

Một bài tập nhỏ: Xác định không gian nghiệm của phương trình , trong đó

Bài toán 2: Tìm tất cả các ma trận có chiều thỏa
với các ma trận vuông cấp , cấp đã cho.

Nghiệm của phương trình trên
trong đó là nghiệm riêng của phương trình đã cho, là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất . (bạn đọc hãy kiểm chứng)

Advertisements

Tích Tensor các không gian Tuyến tính

July 19, 2008 Leave a comment

Bài này nhằm mục đích giúp các bạn tiếp cận với Đại số Đa tuyến Tính một các trực quan trên cơ sở đã hiểu biết Đại số Tuyến tính, tránh bắt gặp ban đầu các lý thuyết quá trừu tượng… Hi vọng bạn đọc cho ý kiến đóng góp.

V_1, V_2,...,V_k là các không gian tuyến tính với số chiều tương ứng là n_1,...,n_k, các cơ sở tương ứng là
\{e_{11},e_{12},...,e_{1n_1}\}, \{e_{21},e_{22},...,e_{2n_2}\},...,\{e_{k1},e_{k2},...,e_{kn_k}\},
V là một không gian tuyến tính

Một ánh xạ f từ V_1\times V_2\times ...\times V_k\rightarrow V,

được gọi là ánh xạ k-tuyến tính nếu là tuyến tính tại mỗi thành phần u_i của (u_1,u_2,...,u_k)\in V_1\times V_2\times ...\times V_k (khi cố định các thành phần còn lại). Ta có:

\displaystyle f(\sum_{1\le i_1\le n_1} x_{1i_1}e_{1i_k},....,\sum_{1\le i_k\le n_k} x_{ki_k}e_{ki_k})
=\displaystyle\sum_{1\le i_j\le n_j, 1\le j\le k} x_{1i_1}x_{2i_2}...x_{ki_k}f(e_{1i_1},e_{2i_2},...,e_{ki_k})

Như vậy f có thể xác định qua n_1.n_2...n_k giá trị của f(e_{1i_1},e_{2i_2}...,e_{ki_k}) với 1\le i_j\le n_j, j=1,2,...,k

Khi V có số chiều là 1, thì f gọi là dạng k-tuyến tính (hình dung lại dạng song tuyến tính quen thuộc)

Xét không gian n_1.n_2...n_k chiều T với vector cơ sở có dạng \epsilon_{i_1,i_2,..,i_k} với 1\le i_j \le n_j, j=1,2,...,k.

Ta xây dựng ánh xạ k-tuyến tính  \widehat{f}: V_1\times V_2\times ...\times V_k\rightarrow T sao cho

\displaystyle f(\sum_{1\le i_1\le n_1} x_{1i_1}e_{1i_k},....,\sum_{1\le i_k\le n_k} x_{ki_k}e_{ki_k})
\displaystyle=\sum_{1\le i_j\le n_j, 1\le j\le k} x_{1i_1}x_{2i_2}...x_{ki_k}\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k}

Khi đó có ánh xạ tuyến tính \overline{f}:T\rightarrow V sao cho
\overline{f}(\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k})=f(e_{1i_1},e_{2i_2},...e_{ki_k})

Rõ ràng \overline{f}\widehat{f}=f

\overline{f} xác định thỏa mãn đẳng thức trên là duy nhất theo f

Cặp (T, \widehat{f}) xây dựng như vậy gọi là tích Tensor của V_1, V_2,...,V_k, kí hiệu T=V_1\otimes V_2\otimes...\otimes V_k

Người ta cũng kí hiệu \widehat{f}(u_1,u_2,...,u_k)= u_1\otimes u_2\otimes...\otimes u_k
với (u_1,...,u_k)\in V_1\times V_2\times ...\times V_k

Và do đó:

\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k}= \widehat{f}(e_{1i_1},e_{2i_2},...,e_{ki_k})= e_{1i_1}\otimes e_{2i_2}\otimes...\otimes e_{ki_k}