Home > Matrix Theory > Tích Tensor các không gian Tuyến tính

Tích Tensor các không gian Tuyến tính


Bài này nhằm mục đích giúp các bạn tiếp cận với Đại số Đa tuyến Tính một các trực quan trên cơ sở đã hiểu biết Đại số Tuyến tính, tránh bắt gặp ban đầu các lý thuyết quá trừu tượng… Hi vọng bạn đọc cho ý kiến đóng góp.

V_1, V_2,...,V_k là các không gian tuyến tính với số chiều tương ứng là n_1,...,n_k, các cơ sở tương ứng là
\{e_{11},e_{12},...,e_{1n_1}\}, \{e_{21},e_{22},...,e_{2n_2}\},...,\{e_{k1},e_{k2},...,e_{kn_k}\},
V là một không gian tuyến tính

Một ánh xạ f từ V_1\times V_2\times ...\times V_k\rightarrow V,

được gọi là ánh xạ k-tuyến tính nếu là tuyến tính tại mỗi thành phần u_i của (u_1,u_2,...,u_k)\in V_1\times V_2\times ...\times V_k (khi cố định các thành phần còn lại). Ta có:

\displaystyle f(\sum_{1\le i_1\le n_1} x_{1i_1}e_{1i_k},....,\sum_{1\le i_k\le n_k} x_{ki_k}e_{ki_k})
=\displaystyle\sum_{1\le i_j\le n_j, 1\le j\le k} x_{1i_1}x_{2i_2}...x_{ki_k}f(e_{1i_1},e_{2i_2},...,e_{ki_k})

Như vậy f có thể xác định qua n_1.n_2...n_k giá trị của f(e_{1i_1},e_{2i_2}...,e_{ki_k}) với 1\le i_j\le n_j, j=1,2,...,k

Khi V có số chiều là 1, thì f gọi là dạng k-tuyến tính (hình dung lại dạng song tuyến tính quen thuộc)

Xét không gian n_1.n_2...n_k chiều T với vector cơ sở có dạng \epsilon_{i_1,i_2,..,i_k} với 1\le i_j \le n_j, j=1,2,...,k.

Ta xây dựng ánh xạ k-tuyến tính  \widehat{f}: V_1\times V_2\times ...\times V_k\rightarrow T sao cho

\displaystyle f(\sum_{1\le i_1\le n_1} x_{1i_1}e_{1i_k},....,\sum_{1\le i_k\le n_k} x_{ki_k}e_{ki_k})
\displaystyle=\sum_{1\le i_j\le n_j, 1\le j\le k} x_{1i_1}x_{2i_2}...x_{ki_k}\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k}

Khi đó có ánh xạ tuyến tính \overline{f}:T\rightarrow V sao cho
\overline{f}(\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k})=f(e_{1i_1},e_{2i_2},...e_{ki_k})

Rõ ràng \overline{f}\widehat{f}=f

\overline{f} xác định thỏa mãn đẳng thức trên là duy nhất theo f

Cặp (T, \widehat{f}) xây dựng như vậy gọi là tích Tensor của V_1, V_2,...,V_k, kí hiệu T=V_1\otimes V_2\otimes...\otimes V_k

Người ta cũng kí hiệu \widehat{f}(u_1,u_2,...,u_k)= u_1\otimes u_2\otimes...\otimes u_k
với (u_1,...,u_k)\in V_1\times V_2\times ...\times V_k

Và do đó:

\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k}= \widehat{f}(e_{1i_1},e_{2i_2},...,e_{ki_k})= e_{1i_1}\otimes e_{2i_2}\otimes...\otimes e_{ki_k}

  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: