Home > Matrix Theory > Phương trình dạng đa thức với hệ số vô hướng

Phương trình dạng đa thức với hệ số vô hướng


Nếu f(\lambda)=\sum_{k}a_k{\lambda}^k\in \mathbb{R}[X] là đa thức, hay tổng quát hơn là một khai triển hình thức có các nghiệm (nói chung là phức) {\lambda}_1,{\lambda}_2, ..., {\lambda}_m ứng với các bội là a_1, a_2,... ,a_m, khi đó một câu hỏi đặt ra là tìm tất cả các ma trận vuông X cấp n thỏa mãn: f(X)=0

Đặt X=TX'T^{-1}

trong đó X' là dạng chuẩn tắc Jordan của X. Rõ ràng đa thức tối thiểu của X phải chứa các nhân tử có dạng (\lambda-{\lambda}_i)^{p_i} với p_i\le a_i.

Như vậy X’ phải có dạng X'=diag(R_{{\lambda}_{i_1}}^{p_{i_1}},R_{{\lambda}_{i_2}}^{p_{i_2}},...,R_{{\lambda}_{i_s}}^{p_{i_s}})
trong đó R_{{\lambda}_{i_k}}^{p_{i_k}} là kí hiệu khối Jordan có chiều là p_{i_k} ứng với {\lambda}_{i_k}
với i_1,i_2,...,i_s = 1,2,...p_{i_1}\le a_{i_1}, p_{i_2}\le a_{i_2}, ..., p_{i_s}\le a_{i_s}, p_{i_1}+p_{i_2}+...+p_{i_s}=n

Thí dụ:
1. Pt X^m=0

Từ đây ta có kết luận mọi ma trận lũy linh có dạng X=T diag( J_{p_1}, J_{p_2},..., J_{p_s})T^{-1}
trong đó trong đó J_k là ma trận vuông cấp k có dạng

2. Pt X^2=X, mọi nghiệm có dạng X=T diag(1,1,...,1,0,...,0) T^{-1} trong đó tổng số các số 0 và 1 bằng n

Categories: Matrix Theory Tags:
  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: