Home > Matrix Theory > Đồng chéo hóa hai ma trận

Đồng chéo hóa hai ma trận


Trong bài trước tôi có nhắc đến giải thuật Jacobi cho bài toán chéo hóa. Bây giờ ta tiếp tục đề cập đến bài toán tương tự cho vấn đề đồng chéo hóa hai ma trận về góc độ lý thuyết lẫn phương pháp xấp xỉ.

Đầu tiên chúng ta cần chú ý một tính chất quan trọng của ma trận xác định dương.

Định lý 1. (Phân tích Cholesky)

Giả sử là ma trận Hermite xác định dương, khi đó tồn tại duy nhất ma trận tam giác dưới có các phần tử trên đường chéo chính đều dương sao cho A=LL^*.

Chứng minh

Ta tìm ma trận
sao cho A=LL^*.

Khi đó

Trong đó với cột đầu tiên

suy ra .

suy ra .

suy ra .

Giả sử tính được cột đầu của , ta tính cột thứ như sau

suy ra

.

suy ra

Ma trận xây dựng như vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bây giờ giả sử tồn tại hai phân tích suy ra là một ma trận đường chéo. Ta có suy ra . Do đó D^2=L_2^{-1}L_2 L_2^* (L_2^*)^{-1}=I suy ra .  Điều này chứng tỏ phân tích Cholesky của ma trận là duy nhất.

Trong Mathematica chúng ta sử dụng lệnh CholeskyDecomposition[m] để tìm phân tích Cholesky của ma trận .

Ví dụ. Tìm phân tích Cholesky của ma trận

Ta làm như nhau

L=CholeskyDecomposition[{{1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5},
{1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6}, {1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 1/7},
{1/4, 1/5, 1/6, 1/7, 1/8}, {1/5, 1/6, 1/7, 1/8, 1/9}}];
Print["L=",MatrixForm[L]];

Kết quả thu được

Theo ý tưởng chứng minh của định lý bạn cũng có thể tự viết một hàm  tìm phân tích Cholesky xem như bài tập lập trình nhỏ với Mathematica.

Về vấn đề phân tích ma trận, có thể tham khảo thêm ở đây , hay bất kì tài liệu nào về Phương pháp Tính cho Đại số Tuyến tính.

Bây giờ trở lại bài toán đồng chéo hóa.

Định lý 2. Nếu A, B là hai ma trận Hermite và A là xác định dương. Khi đó luôn tồn tại ma trận T sao cho T^* A T=I, và T^* B T có dạng đường chéo.

Chứng minh

Theo Định lý 1, ta xây dựng được phân tích Cholesky của ma trận A=LL^*, hay L^{-1}A(L^*)^{-1}=I. Để ý rằng C= (L^*)^{-1} B L^{-1} cũng Hermite, theo kết quả quen thuộc của bài toán chéo hóa là xây dựng được ma trận unita U sao cho U C U^{*} là ma trận đường chéo. Đặt T=(L^{-1})^*U^{*}, chính là ma trận cần tìm.

(còn tiếp…)

  1. Trinh Tuan
    March 22, 2010 at 2:44 pm

    Cam on ban Minh rat nhieu ve cau tra loi rat day du va xuc tich.
    Minh van con vai thac mac nhu sau:
    1. Ma tran cheo hoa T co phai la nghiem duy nhat khong?
    2. Neu T khong phai la nghiem duy nhat, lieu co ton tai mot ma tran cheo hoa ma cac phan tu o mot cot co dinh, vi du cot cuoi cung, co gia tri bang 1 khong? Neu co thi tim nhu the nao?
    Rat mong nhan duoc cau tra loi cua ban.

  2. Trinh Tuan
    March 22, 2010 at 2:53 pm

    Cung noi them o day la ma tran A sau khi cheo hoa khong nhat thiet bang ma tran don vi I.

  3. March 23, 2010 at 5:52 pm

    – Phân tích Cholesky là duy nhất (thành dạng tích hai ma trận tam giác), tuy nhiên để chéo hóa ma trận Hermite C (thực chất mạnh hơn là C là normal matrix, tức là CC^*=C*C) bằng ma trận unita U thì U không phải là duy nhất. Nói chung U là nghiệm của pt ma trận UC=CU với U unita.
    Ma trận T tìm được cũng chỉ là một nghiệm của bài toán.

    – Ma trận đơn vị I ( – dạng chéo hóa của ma trận khả nghịch A) là một thí dụ trong định lý 2 của bài viết.

    Newcomb R.W cũng có định lý tương tự cho hai ma trận Hermite xác định không âm (hoặc không dương), kết quả là một ma trận được chéo hóa về dạng đường chéo \text{diag}(1,1,...,1,0,...,0) (số lượng số 1 bằng hạng của ma trận ban đầu).

    Có nhiều kết quả khác cho bài toán đồng chéo hóa với điều kiện xác định đương (xác định không âm) hay khả nghịch được thay thế, và ma trận chéo hóa về nhất thiết không cần phải là ma trận đơn vị.

    Xin trả lời anh cụ thể về các phương pháp đồng chéo hóa trong lần cập nhật bài viết tiếp theo.

  4. Niem
    November 25, 2010 at 9:25 am

    Minh muon hoi la neu ma tran X la ma tran doi xung, nua xac dinh duong hang r (X la ma tran doi xung cap n). Khi do lieu co the chung minh X la nua xac dinh duong neu va chi neu co p_1, ….,p_r thuoc R^n sao cho X= p_1(p_1)^T+…p_r(p_r)^T hay khong?. minh doc xong bai viet cua ban nen nghi nhu vay. Ban co the chung minh duoc dua vao phan tich Cholesky da trinh bay o tren hay ko? Co the cho mot vi du cu the trong truong hop nay duoc ko? Than ai!

  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: