Archive

Archive for July, 2010

Đạo hàm Malliavin

July 12, 2010 Leave a comment

Xét không gian Hilbert khả tách \mathcal H được trang bị tích vô hướng \langle.,.\rangle và chuẩn \|.\| tương ứng.  Thế thì tồn tại không gian xác suất (\Omega, \mathcal{G},\mu) cùng với quá trình ngẫu nhiên (W_h)_{h\in \mathcal H} tuyến tính theo quỹ đạo và ứng với mỗi h cố định thì W_h\in L^2(\Omega, \mathcal{G},\mu) là biến ngẫu nhiên Gauss, hơn nữa \mathbf{E}(W_h)=0, \mathbf{cov}(W_{h_1}W_{h_2})=\langle h_1, h_2\rangle . Xét (e_1,e_2,...) là cơ sở trực chuẩn cố định của \mathcal H.

Thí dụ:

1. \mathcal H=L^2([0,\infty) và tích phân Wiener \displaystyle W_h=\int_0^{\infty}h(t)dW_t với W_t là quá trình Wiener 1 chiều.

2. \mathcal{H}=L^2(X, \mathcal{A}, m) là không gian độ đo \sigma-hữu hạn, và không tồn tại tập có đo dương không chứa thêm tập con nào nữa có độ đo dương bé hơn (tập hạt nhân). Ồn trắng (W(A))_{A\in \mathcal{A}_f}  (\mathcal{A}_f là lớp tất cả các tập có độ đo hữu hạn, xem như là tập chỉ số) là một một quá trình Gauss  sao cho W(A)\in L^2(\Omega, \mathcal G, \mu), \mathbf{E}(W(A))=0\mathbf{cov}(W(A), W(B))=\mathcal{L}(A\cap B) (\mathcal{L} – độ đo Lebesgue) và W(A\cup B)=W(A)+W(B) nếu A\cap B=\emptyset. Với tập A có độ đo hữu hạn, đặt W(1_A)=W(A), từ đó mở rộng cho các hàm đơn giản trên X, và cuối cùng do tính trù, ta mật xây dựng được W(h) với các hàm khả tích bậc hai h\in L^2(X, \mathcal{A}, m).

Trở lại vấn đề của bài viết, kí hiệu \mathcal P là lớp tất cả các biến ngẫu nhiên có dạng

F=f(W(h_1),W(h_2),....,W(h_n)),\ h_1, h_2,...,h_n\in\mathcal{H}, \ n\ge 1, với hàm trơn f và các đạo hàm riêng của nó có độ tăng bậc đa thức. Dễ thấy \mathcal P là tập con trù mật của L^2(\Omega, \mathcal G, \mu).

Ta định nghĩa đạo hàm Malliavin của F\in \mathcal P là biến ngẫu nhiên giá trị thuộc \mathcal H:

\displaystyle DF=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_k}(W(h_1), W(h_2),...,W(h_n))h_k.

Nó thỏa mãn quy tắc Leibnitz \displaystyle D(FG)=FDG+GDF.

Các tính chất đẹp:

1. \displaystyle \mathbf{E}(\langle DF,h\rangle_{\mathcal{H}})=\mathbf{E}(FW(h))

2. \displaystyle \mathbf{E}(G\langle DF,h\rangle_{\mathcal{H}})=\mathbf{E}(-F\langle DG,h \rangle_{\mathcal{H}}+FGW(h))

Vận dụng (2) bạn có thể chứng minh tính đóng được của toán tử \displaystyle D từ \displaystyle L^p(\Omega, \mathcal{G},\mu) vào \displaystyle L^p(\Omega, \mathcal {H}) với \displaystyle p\ge 1.

Với \displaystyle p\ge 1, kí hiệu \displaystyle \mathbb{D}^{1,p} là bao đóng của \mathcal P ứng với nửa chuẩn:

\displaystyle \|F\|_{1,p}=\left(\mathbf{E}(|F|^p)+\mathbf{E}(\|DF\|_{\mathcal{H}}^p\right)^{1/p}.

Đặt biệt với \displaystyle p=2, thì \displaystyle \mathbb{D}^{1,2} xem như là không gian Hilbert với tích vô hướng:

\displaystyle \langle F, G\rangle_{1,2}= \mathbf{E}(FG)+\mathbf{E}(\langle DF, DG\rangle_{\mathcal{H}}).

Định nghĩa một cách đệ quy cho đạo hàm cấp cao \displaystyle D^kF, F\in \mathcal{P} là vector ngẫu nhiên có giá trị thuộc không gian tích tensor \displaystyle \mathcal{H}^{\otimes k}. D^k cũng là toán tử đóng được từ L^p(\Omega, \mathcal{G}, \mu) vào L^p(\Omega,\mathcal{H}^{\otimes k}).

Với \displaystyle k\in \mathbb{Z}_+, p\ge 1, kí hiệu \displaystyle \mathbb{D}^{k,p} là bao đóng của \mathcal P ứng với nửa chuẩn:

\displaystyle \|F\|_{k,p}=\left(\mathbf{E}(|X|^p)+\sum_{l=1}^k\mathbf{E}(\|D^lF\|^p_{\mathcal{H}^{\otimes k}}\|)\right)^{1/p}.

Kí hiệu

\displaystyle \mathbb{D}^{\infty}=\bigcap_{k,p} \mathbb{D}^{k,p}.

Chú ý là với \displaystyle k \ge 1, p > q ta có quan hệ lồng nhau: \displaystyle \mathbb{D}^{k,p}\subset \mathbb{D}^{k-1,q}.

Bằng cách lấy giới hạn, ta có thể xác định đạo hàm Malliavin D^kF với \displaystyle F\in\mathbb{D}^{k,p}\subset L^p(\Omega, \mathcal{G},\mu) tương ứng.

Đạo hàm Malliavin thỏa mãn luật xích theo nghĩa: Cho \displaystyle \phi:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} khả vi liên tục với các đạo hàm riêng bị chặn, các biến ngẫu nhiên \displaystyle F_1,F_2,...,F_n\in \mathbb{D}^{1,p} thế thì \displaystyle \phi(F_1,F_2,...,F_n)\in \mathbb{D}^{1,p}

\displaystyle D(\phi(F_1,F_2,...,F_n))=\sum_{k=1}^n \frac{\partial \phi}{\partial x_i}(F_1,F_2,...,F_n)DF_i.

Với \displaystyle F\in \mathbb{D}^{k,p}, G\in \mathbb{D}^{k,q}, k\in \mathbb{Z}_+, 1<p,q<\infty\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q} thế thì \displaystyle FG\in \mathbb{D}^{k,r} và bất đẳng thức loại Holder sau được thỏa mãn

\displaystyle\|FG\|_{k,r}\le C(p,q,k)\|F\|_{k,p}\|G\|_{k,q},

ở đây \displaystyle C(p,q,k) là hằng số nào đó chỉ phụ thuộc \displaystyle p,q,k.

Advertisements

Toán tử Ornstein-Uhlenbeck

July 12, 2010 Leave a comment

Trường hợp hữu hạn chiều

Cho không gian xác suất (\mathbb{R}^m, \mathfrak{B}(\mathbb{R}^m), \mu ) với \mathfrak{B}(\mathbb{R}^m)\sigma-đại số Borel trên \mathbb{R}^m\mu là độ đo Gauss:

\displaystyle\mu(dx)=\frac{1}{(2\pi)^{m/2}} e^{-|x|^2/2}dx.

Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên

\displaystyle dX_t=\sqrt{2}dW_t-X_tdt, với W_t là quá trình Wiener trong \mathbb{R}^m.

Áp dụng công thức Ito thế thì

\displaystyle X_t(x)=e^{-t}x+\sqrt{2}\int_0^t e^{-(t-s)}dW_s.

Ta định nghĩa toán tử P_t xác định trên L^p(\mathbb{R}^m, \mu), p\ge 1

\displaystyle P_t f(x)=\mathbf{E}(f(X_t(x))=\int_{\mathbb{R}^m} f(e^{-t}x+\sqrt{1-e^{-2t}}y)\mu(dy), \ t\ge 0.

Các tính chất đẹp:

1. P_t là toán tử nửa nhóm trên L^p(\mathbb{R}^m, \mu)

2. \displaystyle \| P_tf(x)\|_{L^p(\mathbb{R}^m, \mu)} \le \| f\|_{L^p(\mathbb{R}^m, \mu)}, p\ge 1

3. P_t là toán tử đối xứng trên L^2(\mathbb{R}^m, \mu)

4.  P_t thu hẹp trên C_b^2(\mathbb{R}^m) có  infinitesimal generator là L_m=\Delta-x.\nabla

Mở rộng trên không gian Hilbert khả tách

Giả sử không gian Hilbert khả tách \mathcal H ứng với tích vô hướng \langle.,.\rangle và chuẩn \|.\| tương ứng.  Thế thì tồn tại không gian xác suất (\Omega, \mathcal{G},\mu) cùng với quá trình ngẫu nhiên (W_h)_{h\in \mathcal H} tuyến tính theo quỹ đạo và ứng với mỗi h cố định thì W_h là biến ngẫu nhiên Gauss hơn nữa \mathbf{E}(W_h)=0, \mathbf{cov}(W_{h_1}W_{h_2})=\langle h_1, h_2\rangle . Xét (e_1,e_2,...) là cơ sở trực chuẩn của \mathcal H.

Trên không gian L^p(\Omega, \mu), p\ge 1 các biến ngẫu nhiên khả tích bậc p, xác định toán tử

\displaystyle P_t F=\int_{\Omega}F(e^{-t}\omega +\sqrt{1-e^{-2t}}\chi)\mu(d\chi), \ t\ge 0.

Các tính chất (1-2-3) trong trường hợp hữu hạn chiều P_t vẫn đúng trên (\Omega, \mathcal{G},\mu).

Với bộ chỉ số a=(a_1,a_2,...),\ a_i\in \mathbb{Z_+}, đặt

trong đó sử dụng kí hiệu đa thức Hermite
\displaystyle H_n(x)=\frac{1}{n!}\frac{d^n}{dt^n}\left. e^{-t^2/2+tx}\right|_{t=0}.

Không khó khăn để kiểm tra (H_a) lập thành cơ sở trực chuẩn của L^2(\Omega,\mathcal G, \mu).

Kí hiệu \mathcal{W}_n là không gian con đóng của không gian Hilbert L^2(\Omega,\mathcal G, \mu) sinh bởi hệ trực chuẩn (H_a, \sum_{k=1}^{\infty}{|a_k|}=n). Khi đó ta có biểu diễn hỗn độn Wiener
L^2(\Omega,\mathcal G, \mu)=\bigoplus_{n=0}^{\infty} \mathcal{W}_n
và không gian \mathcal{W}_n gọi là hỗn độn Wiener thứ \displaystyle n.

Toán tử P_t được phân tích theo các toán tử chiếu trực giao \displaystyle J_n từ \displaystyle L^2(\Omega,\mathcal G, \mu) xuống  \displaystyle \mathcal{W}_n như sau

với F\in L^2(\Omega,\mathcal G, \mu)

Ta xác định được

là infinitesimal generator của toán tử nửa nhóm P_t thu hẹp trên miền

L được gọi là toán tử Ornstein-Uhlenbeck, nó cùng với đạo hàm Malliavin và tích phân Skorohod là 3 toán tử nền tảng nhất của ngành Biến phân ngẫu nhiên.

Tạp chí Kvant các năm 2000-2009 – Tuyển tập bài toán

July 4, 2010 Leave a comment

Link:

https://tuanminh1988.files.wordpress.com/2010/07/kvant2000-2010_demo.pdf

Ý tưởng cho việc ra đời tạp chí Kvant được đề xuất bởi viện sĩ Piotr Leonhidovich Kapisa vào năm 1964. Và bà đã tìm được sự ủng hộ nhiệt tình với những thành viên tích cực là những bạn trẻ trong những năm ấy học tập tại các nhóm Toán-Lý của khối phổ thông chuyên trong các trường đại học lớn, từ trong các cuộc thi olympic của toàn liên bang Xô Viết, trong các nhóm học hè của học sinh phổ thông. Vào năm 1970 ước mơ ấy đã thành hiên thực. Tạp chí Kvant đã đến tay bạn đọc trên toàn Liên bang Xô Viết. Trưởng ban biên tập đầu tiên là viện sĩ Issac Konstantinovich Kikoin, phó trưởng ban biên tập là viện sĩ Andrei Nikolaievich Kolmogorov. Và thế là Kvant dần trở tạp chí khoa học phổ thông Toán-Lý nổi tiếng trên thế giới có số lượng bạn đọc đông đảo trong đó có bạn đọc Việt Nam. Cho đến đầu năm 1990 tạp chí ra hàng tháng với khoảng 250-350 nghìn bản in. Ngày nay tạp chí ra hai tháng một số, số bản in cũng giảm đi rất nhiều. Tuy nhiên các cộng tác viên và ban biên tập đã nỗ lực rất nhiều đề không ngừng cải thiện hình thức và nội dung của Kvant. Những tài liệu và bài viết được xuất bản trên tạp chí trong suốt 40 năm nay có thể xem là vô cùng quý giá. Không ít lần người ta có dịp hỏi các nhà khoa học trẻ, những người đạt được nhiều thành tích trong khoa học, và những nhà giáo lớn rằng: “Điều gì đã cho phép bạn lựa chọn nghề nghiệp và chuyên ngành của mình?”. Và gần như tất cả các câu trả lời đều giống nhau : “Các thầy giáo phổ thông, những người có niềm say mê đến chuyên môn của mình và tạp chí Kvant”. Mặc dù đang gặp rất nhiều khó khăn tuy nhiên Kvant vẫn luôn là một tạp chí khoa học phổ thông phổ biến và được các bạn trẻ, thầy cô và các nhà khoa học, nhà giáo dục học quan tâm. Kvant thật sự là nguồn tài liệu bổ ích cho bất kỳ ai đam mê Toán học và Vật Lý.

Bản dịch này bao gồm khoảng hơn 400 bài toán Số học, Rời rạc, Hình học, Đại số, và Giải tích hấp dẫn trong mục kì ra đề này của tạp chí Kvant trong suốt 10 năm gần đây nhất vốn đang được chia sẻ và thảo luận tại diễn đàn Mathvn.org. Hi vọng đây sẽ là món quà mang nhiều ý nghĩa gửi đến đông đảo các bạn trẻ yêu Toán và thầy cô giáo phổ thông tại Việt Nam, khi mà tiếng Nga không còn phổ biến rộng rãi, và trong nước ít được tiếp cận với các số mới của Kvant. Tuy đã có nhiều cố gắng trong việc dịch thuật và soạn thảo nhưng có lẽ không tránh khỏi những thiếu sót mắc phải trong tài liệu này. Hi vọng nhận được những nhận xét, góp ý chân thành của bạn đọc thông qua địa chỉ email: mathvn2008@gmail.com hoặc truy cập vào website: http://mathvn.org.

Minsk, 04-07-2010

Categories: My documents