Home > Probability Theory > Xác suất thuộc vào của chuyển động Brownian d-chiều

Xác suất thuộc vào của chuyển động Brownian d-chiều


Để bắt đầu, bạn hãy thử chứng minh  bổ đề đơn giản liên quan đến chận trên và chặn dưới của xác suất thuộc vào hình lập phương đóng B_{\infty}(a,\epsilon)\subset \mathbb R^d của chuyển động Brownian d-chiều (B(t))_{t\ge 0} trên một đoạn thời gian đóng

Bổ đề. Với \epsilon>0, a\in R^d, thế thì với mọi t\in [0,T], tồn tại các hằng số dương C_1,C_2 chỉ phụ thuộc vào T, a sao cho

 C_1 \left(\min\{ \frac{\epsilon}{\sqrt{t}}, 1 \}\right)^d\le P(|B(t)-a|\le \epsilon)\le C_2 \left(\min\{ \frac{\epsilon}{\sqrt{t}}, 1 \} \right)^d

(ở đây |x|=||x||_{\infty}=\max_{1\le 1\le d}\{|x_i|\})
Gợi ý: sử dụng hàm phân phối và chặn các tích phân.
Bây giờ xét với lọc \sigma-đại số (\mathcal{F}_t)_{t\ge 0} phù hợp với (B(t))_{t\ge 0}, và quá trình ngẫu nhiên

M_t=E(\int_{\alpha}^{\alpha+\beta}\mathbf{1}_{\{|B(s)-a|\le 2\epsilon\}}ds | \mathcal{F}_t)

là martingale phù hợp với lọc (\mathcal{F}_t)_{t\ge 0}. Rõ ràng rằng
M_t\ge \int_t^{\alpha+\beta}P(|B(s)-a|\le 2\epsilon|\mathcal{F}_t)ds
\ge  \mathbf{1}_{\{|B(t)-a|\le \epsilon\}} \int_t^{\alpha+\beta}P(|B(s)-a|\le 2\epsilon|\mathcal{F}_t)ds
\ge  \mathbf{1}_{\{|B(t)-a|\le \epsilon\}} \int_t^{\alpha+\beta}P(|B(s)-B(t)|\le \epsilon|\mathcal{F}_t)ds
=  \mathbf{1}_{\{|B(t)-a|\le \epsilon\}} \int_t^{\alpha+\beta}P(|B(s-t)|\le \epsilon)ds
\ge  \mathbf{1}_{\{|B(t)-a|\le \epsilon\}} \int_0^{\beta}P(|B(u)|\le \epsilon)du
với mọi t\in[\alpha, \beta]

Áp dụng Bổ đề, ta có

M_t\ge C \kappa_0(\epsilon) \mathbf{1}_{\{|B(t)-a|\le \epsilon\}}
, với mọi t\in(\alpha, \beta)

trong đó

\kappa_0(\epsilon)=\left\{\begin{matrix} \epsilon,\  \ d=1\\   \epsilon^2 \ln_+(\epsilon^{-1}),\  \ d=2\\  \epsilon^{d+2},\  \ d\ge 3 \end{matrix}\right.

Bây giờ ta đặt \tau=\inf\{ t\in[\alpha, \beta]\ :\ |B(t)-a|\le\epsilon \}, là hitting time của chuyển động Brownian trên [\alpha, \beta] với hình lập phương đóng B_{\infty}(a,\epsilon)

Khi đó

E(M_{\tau}\mathbf{1}_{\{\tau < \infty\}})\ge C \kappa_0(\epsilon) P(\inf_{t\in[\alpha,\beta]}\{|B(t)-a|\le \epsilon\})

Từ tính bị chặn của M_t và áp dụng Optional stopping theorem ta thu được kết quả đẹp về ước lượng chặn trên của hitting probability

Định lý. Tồn tại hằng số C sao cho

P(\inf_{t\in[\alpha,\beta]}\{|B(t)-a|\le \epsilon\})\le C \kappa(\epsilon)

trong đó \kappa(\epsilon)=\left\{\begin{matrix} 1,\  \ d=1\\   \frac{1}{\ln_+(1/\epsilon)},\  \ d=2\\  \epsilon^{d-2},\  \ d\ge 3 \end{matrix}\right.

  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: