Archive

Archive for August, 2011

Nghiệm Cauchy-Kovalevski-Somigliana cho hệ Navier

August 9, 2011 Leave a comment

Từ định luật II Newton chúng ta có phương trình Cauchy cho chuyển động của một thể vật chất liên tục

\displaystyle \nabla .\,\mathbf{\sigma }+\mathbf{f}=\rho \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2}

trong đó \boldsymbol{\sigma} là trường Cauchy stress tensor, \mathbf{u} là trường vector dịch chuyển của thể vật chất, \mathbf{f} là trường lực khối, và \rho là mật độ vật chất.

Ở đây chúng ta xét cho một thể đàn hồi đẳng hướng. Khi đó theo định luật Hooke

\boldsymbol{\sigma} = \lambda~\mathrm{trace}(\boldsymbol{\varepsilon})~\mathbf{I} + 2\mu~\boldsymbol{\varepsilon}
trong đó \lambda,\mu>0 là các hệ số Lamé, \mathbf{I} tensor bậc hai đơn vị và \boldsymbol{\varepsilon} là trường infinitesimal strain tensor xác định bởi
 \boldsymbol{\varepsilon} =\tfrac{1}{2} \left[\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T\right]\,\!

Thay nó vào lại phương trình Cauchy ta thu được phương trình Navier (còn gọi là phương trình sóng động đàn hồi)

(\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u})+\mu~\nabla^2\mathbf{u}+\mathbf{f}= \rho~\ddot{\mathbf{u}}

Dưới dạng tọa độ, ta có hệ

(\lambda+\mu)\frac{\partial }{\partial x_k}\text{div}(u)+\mu \nabla^2 u_k +f_k = \rho \frac{\partial^2 u_k}{\partial t^2}, \ \ k=1,2,3

Có nhiều biểu diễn nghiệm riêng cho hệ trên, ở đây thì ta bàn đến một sự liên quan đến nghiệm của phương trình sóng kép (biwave equation).

Bây giờ nếu ta đặt a^2=(\lambda+2\mu)/\rho, b^2=\mu/\rho, thì phương trình Navier viết lại thành

\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\mathbf{u}-(a^2-b^2)\nabla(\text{div}(\mathbf{u}))-\mathbf{f}/\rho =0 \ \ \ \ (*)
Giả sử \mathbf{w} là nghiệm của phương trình sóng kép có dạng
\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\mathbf{w}=\mathbf{f}/\rho

Khi đó công thứ Cauchy-Kovalevski-Somigliana

u=\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\mathbf{w}+(a^2-b^2)\nabla(\text{div}(\mathbf{w})) \  \  \ (**)cho ta một nghiệm của (*).

Thật thế, nếu thay (**) vào vế trái của (*) thì ta được
LHS=\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\left(\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\mathbf{w}+(a^2-b^2)\nabla(\text{div}(\mathbf{w})) \right)

- (a^2-b^2)\nabla\left( \left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\text{div}(\mathbf{w})+(a^2-b^2)\nabla^2(\text{div}(\mathbf{w})) \right)-\mathbf{f}/\rho

Trong đó chú ý

\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\text{div}(\mathbf{w})+(a^2-b^2)\nabla^2(\text{div}(\mathbf{w})) = \left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\text{div}(\mathbf{w})

Như vậy

LHS=\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\mathbf{w}+(a^2-b^2) \left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\nabla(\text{div}(\mathbf{w}))
-(a^2-b^2) \nabla\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)(\text{div}(\mathbf{w})) - \mathbf{f}/\rho =0
Advertisements

Phương trình chuyển động Cauchy

August 4, 2011 5 comments

Ngoại lực tác động lên một thể vật chất gồm có:
– Lực khối (body force) tác động vào mỗi đơn vị thể tích, ký hiệu bởi trường vector \mathbf{f}=({{f}_{i}}).
– Lực bề mặt (surface force) hay ứng suất (stress) là lực tác động mỗi đơn vị diện tích bề mặt.
Xét thể vật chất chiếm thể tích trong miền \Omega \subset {{\mathbb{R}}^{d}} với biên bị chặn, trơn từng miếng \partial \Omega với trường vector pháp tuyến tương ứng là \mathbf{n}. Giả sử {{\mathbf{T}}^{(\mathbf{n})}}=(T_{i}^{(\mathbf{n})}) là một trường vector ứng suất tác động lên mỗi đơn vị diện tích của bề mặt \partial \Omega . khi đó định lý ứng suất Cauchy (Cauchy’s stress theorem) phát biểu rằng tồn tại trường tensor bậc hai \mathbf{\sigma }=({{\sigma }_{ij}}) sao cho

\displaystyle{{\mathbf{T}}^{(\mathbf{n})}}=\mathbf{\sigma }\,.\,\mathbf{n} hay T_{j}^{(\mathbf{n})}={{\sigma }_{ij}}{{n}_{i}}.             (1)

https://i0.wp.com/upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Components_stress_tensor_cartesian.svg/500px-Components_stress_tensor_cartesian.svg.png

Ta gọi \mathbf{\sigma }=({{\sigma }_{ij}}) là trường tensor ứng suất Cauchy (Cauchy stress tensor), và nó mô tả trường vector ứng suất như là một hàm phụ thuộc tuyến tính theo trường vector pháp tuyến.
Theo định luật thứ hai của Newton, ta có

\displaystyle \int_{\partial \Omega }{{{\mathbf{T}}^{(\mathbf{n})}}}ds+\int_{\Omega }{\mathbf{f}}dV=\frac{d}{dt}\int_{\Omega }{\rho }\mathbf{v}dV,      (2)

trong đó \mathbf{v} là trường vector vận tốc của mỗi phần tử của thể vật chất, \rho là mật độ vật chất.
Ta lại có

\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{\Omega }{\rho \,\mathbf{v}dV} =\int_{\Omega }{\frac{\partial (\rho \,\mathbf{v})}{\partial t}dV}+\int_{\partial\Omega }{(\rho \,\mathbf{v}.\,\mathbf{n})\,\mathbf{v}\,ds}

\displaystyle =\int\limits_{\Omega }{\left[ \left( \rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\frac{\partial \rho }{\partial t}\mathbf{v} \right)+\,\left( \nabla .\,\rho \,\mathbf{v}\, \right)\,\mathbf{v}+\left( \rho \mathbf{v}.\nabla \right)\mathbf{v} \right]dV}.

\displaystyle =\int\limits_{\Omega }{\rho \left[ \frac{\partial }{\partial t}+\mathbf{v}.\nabla \right]\mathbf{v}dV}+\int\limits_{\Omega }{\left[ \frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla .(\rho \,\mathbf{v}) \right]\mathbf{v}dV}.      (3)
trong đó chú ý áp dụng định lý Gauss–Ostrogradsky (Gauss–Ostrogradsky’s divergence theorem). Giả sử khối lượng được bảo tồn, khi đó số hạng thứ hai trong biểu thức cuối ứng với sự thay đổi của luồng khối lượng theo thời gian sẽ bị triệt tiêu (chúng ta chú ý phương trình của thể vật chất liên tục

\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla .(\rho \,\mathbf{v}) =0

)

Thay thế (1)-(3) vào (2) và ta có

\displaystyle \int\limits_{\Omega }{\left( \nabla .\,\mathbf{\sigma }+\mathbf{f}-\rho \frac{D\,\mathbf{v}}{Dt} \right)}\,\,dV=\mathbf{0}.

Trong đó D/Dt là ký hiệu của đạo hàm vật chất (material derivative), xác định với mỗi trường vector \mathbf{\varphi } như sau

\displaystyle\frac{D\mathbf{\varphi }}{Dt}=\frac{\partial \mathbf{\varphi }}{\partial t}+(\mathbf{v}\,.\nabla )\mathbf{\varphi }.

Từ đó ta thu được

\displaystyle \nabla .\,\mathbf{\sigma }+\mathbf{f}=\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt}          (4)

và được gọi là phương trình chuyển động Cauchy (Cauchy’s equation of motion). Có thể viết (4) dưới dạng tọa độ Cartesian như sau

\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}{\frac{\partial }{\partial {{x}_{j}}}{{\sigma }_{ij}}}+{{f}_{i}}=\rho \left[ \frac{\partial }{\partial t}+\sum\limits_{j=1}^{d}{{{v}_{j}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{j}}}} \right]{{v}_{i}}