Home > Mathematical Modelling, Theoretical Mechanics, Theory of Elasticity > Nghiệm Cauchy-Kovalevski-Somigliana cho hệ Navier

Nghiệm Cauchy-Kovalevski-Somigliana cho hệ Navier


Từ định luật II Newton chúng ta có phương trình Cauchy cho chuyển động của một thể vật chất liên tục

\displaystyle \nabla .\,\mathbf{\sigma }+\mathbf{f}=\rho \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2}

trong đó \boldsymbol{\sigma} là trường Cauchy stress tensor, \mathbf{u} là trường vector dịch chuyển của thể vật chất, \mathbf{f} là trường lực khối, và \rho là mật độ vật chất.

Ở đây chúng ta xét cho một thể đàn hồi đẳng hướng. Khi đó theo định luật Hooke

\boldsymbol{\sigma} = \lambda~\mathrm{trace}(\boldsymbol{\varepsilon})~\mathbf{I} + 2\mu~\boldsymbol{\varepsilon}
trong đó \lambda,\mu>0 là các hệ số Lamé, \mathbf{I} tensor bậc hai đơn vị và \boldsymbol{\varepsilon} là trường infinitesimal strain tensor xác định bởi
 \boldsymbol{\varepsilon} =\tfrac{1}{2} \left[\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T\right]\,\!

Thay nó vào lại phương trình Cauchy ta thu được phương trình Navier (còn gọi là phương trình sóng động đàn hồi)

(\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u})+\mu~\nabla^2\mathbf{u}+\mathbf{f}= \rho~\ddot{\mathbf{u}}

Dưới dạng tọa độ, ta có hệ

(\lambda+\mu)\frac{\partial }{\partial x_k}\text{div}(u)+\mu \nabla^2 u_k +f_k = \rho \frac{\partial^2 u_k}{\partial t^2}, \ \ k=1,2,3

Có nhiều biểu diễn nghiệm riêng cho hệ trên, ở đây thì ta bàn đến một sự liên quan đến nghiệm của phương trình sóng kép (biwave equation).

Bây giờ nếu ta đặt a^2=(\lambda+2\mu)/\rho, b^2=\mu/\rho, thì phương trình Navier viết lại thành

\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\mathbf{u}-(a^2-b^2)\nabla(\text{div}(\mathbf{u}))-\mathbf{f}/\rho =0 \ \ \ \ (*)
Giả sử \mathbf{w} là nghiệm của phương trình sóng kép có dạng
\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\mathbf{w}=\mathbf{f}/\rho

Khi đó công thứ Cauchy-Kovalevski-Somigliana

u=\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\mathbf{w}+(a^2-b^2)\nabla(\text{div}(\mathbf{w})) \  \  \ (**)cho ta một nghiệm của (*).

Thật thế, nếu thay (**) vào vế trái của (*) thì ta được
LHS=\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\left(\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\mathbf{w}+(a^2-b^2)\nabla(\text{div}(\mathbf{w})) \right)

- (a^2-b^2)\nabla\left( \left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\text{div}(\mathbf{w})+(a^2-b^2)\nabla^2(\text{div}(\mathbf{w})) \right)-\mathbf{f}/\rho

Trong đó chú ý

\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\text{div}(\mathbf{w})+(a^2-b^2)\nabla^2(\text{div}(\mathbf{w})) = \left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\text{div}(\mathbf{w})

Như vậy

LHS=\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\mathbf{w}+(a^2-b^2) \left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\nabla(\text{div}(\mathbf{w}))
-(a^2-b^2) \nabla\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)(\text{div}(\mathbf{w})) - \mathbf{f}/\rho =0
  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: