Archive

Archive for May, 2013

Ngẫu nhiên trên mạch điện

May 26, 2013 Leave a comment

Mạch điện một chiều có thể xem như là một đồ thị đơn G=(V,E) không có khuyên, liên thông, không định hướng, trong đó các đỉnh là nút của mạng điện còn các cạnh là dây dẫn giữa chúng. Đoạn dây dẫn giữa hai nút kề nhau xy bất kì đều coi là có một điện trở R(x,y), hay nói tương đương, độ dẫn (trọng số) của cạnh (x,y)C(x,y)=1/R(x,y).

Bây giờ giả sử có một người đi dạo trên các nút của đồ thị với quy tắc như sau: nếu người này đang ở nút x sẽ đi đến một nút kề cận y với xác suất tỉ lệ với độ dẫn của cạnh (x,y) so với các cạnh còn lại kề với x, nghĩa là xác suất này bằng

\displaystyle p(x,y)=\frac{\displaystyle C(x,y)}{\displaystyle\sum_{y\sim x} C(x,y)}.

Bây giờ kí hiệu X_n là vị trí của người đi dạo tại lần đi thứ n, thế thì với hai đỉnh x, y kề nhau thì \text{Pr}(X_{n+1}=y|X_{n}=x)=p(x,y), và xem p(x,y)=0 trong trường hợp x,y không kề nhau hoặc x\equiv y. Ma trận P=\{p(x,y)\}_{x,y\in V} gọi là ma trận xác suất chuyển. Rõ ràng vị trí của người đi bộ trong tương lại chỉ phụ thuộc vào vị trí hiện tại mà độc lập với các vị trí đã đi trong quá khứ, đặc trưng như vậy của quá trình đi dạo ngẫu nhiên của người đi bộ được gọi là tính “mất trí nhớ”.

Ta giả sử các quãng thời gian người đi dạo đi giữa các cặp hai nút kề nhau kế tiếp trong hành trình của mình là độc lập và cùng phân phối lũy thừa \text{Exp}(1) và kí hiệu vị trí của người đi bộ trên tại điểm tY_t. Khi đó nếu \tau_n là thời điểm mà người đi dao thực hiện bước đi thứ n  thì Y_{\tau_n}=X_n, hay nói cách khác quá trình vị trí của người đi dạo (X_n) có thể được nhúng trong quá trình (Y_t) với thời điểm liên tục. Với t\in \mathbb{R}_+ xét toán từ P_t xác định trên không gian các hàm bị chặn trên V như sau

P_tf(x)=\mathbf{E}(f(Y_t)|Y_0=x)=\displaystyle\sum_{y\in V}f(y)\text{Pr}(Y_t=y|Y_0=x).

Khi t đủ nhỏ, ta có

\text{Pr}(Y_t=y| Y_0=x)=\mathbf{1}_{\{x\sim y\}}p(x,y)(1-e^{-t})+o(t),

\text{Pr}(Y_t=x| Y_0=x)=e^{-t}+o(t).

Dễ thấy (P_t)_{t\in \mathbb{R}_+} có tính chất nửa nhóm, tức là P_{t+s}=P_tP_s. Toán tử đặc trưng của nửa nhóm toán từ này được tính bằng

\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{P_t-I}{t}=P-I=\Delta.

Viết một cách tường minh thì toán tử đặc trưng \Delta được xác định bởi

\displaystyle\Delta r(x)=(P-I)r(x)=\frac{\displaystyle\sum_{y\sim x} C(x,y)r(y)}{\displaystyle\sum_{y\sim x} C(x,y)}-r(x)

và được gọi là toán từ Laplace-Beltrami ứng với trọng số hàm trọng số C: V\to \mathbb{R}_+ trên đồ thị G. Hàm bị triệt tiêu bởi toán tử Laplace-Beltrami gọi là hàm điều hòa. Một hàm điều hòa trên một miền \Omega thì sẽ hoặc là hằng số hoặc là chỉ đạt cực trị trên biên \partial \Omega. Thật vậy, giả sử như hàm này đạt cực trị tại một điểm x_0 nào đó thuộc miền trong của \Omega. Trong khi đó do tính chất điều hòa, giá trị của hàm tại x_0 cũng là chính là trung bình giá trị của hàm tại các điểm kề cận với x_0. Do đó giá trị của hàm tại x_0 cũng như điểm kề cần với nó đều bằng nhau, và nguyên lý “domino” này làm cho hàm bằng hằng số trên trên toàn miền \Omega. Hệ quả của nguyên lý cực trị này của các hàm điều hòa là chúng có thể xác định một các duy nhất nếu xác định được các giá trị trên biên. Điều này dễ dàng nhận ra bằng tính chất là hiệu của hai hàm điều hòa cùng giá trị biên là một hàm điều hòa bị triệt tiêu trên biên, và đó bị triệt tiêu trên toàn miền nhờ nguyên lý cực trị. Bài toán tìm một hàm duy nhất xác định bằng giá trị như vậy gọi là bài toán Dirichlet.

Trở lại bài toán người đi dạo, ta đánh dấu nút đầu tiên mà người này xuất phát là 0 và kí hiệu B_n\subset V xem như là một “quả cầu” gồm tất cả các nút mà đường đi ngắn nhất từ 0 đến các nút đó không quá n, trong đó “biên” \partial B_n của “quả cầu” này là các nút với đường đi ngắn nhất đến 0 đúng bằng n. Bài toán thú vị đầu tiên mà chúng ta xét là giả sử rằng khi người đi bộ đến một nút x\in B_n thì xác suất sau đó người này quay về nút 0 trước khi đến biên \partial B_n là bao nhiêu?

Kí hiệu xác suất này là r(x). Thế thì dựa vào tính “mất trí nhớ” của người đi dạo và công thức xác suất đầy đủ dễ thấy

\displaystyle r(x)=\sum_{y\sim x}p(x,y)r(y),\ \ \forall x\in B_n\setminus (\partial B_n\cup\{0\})

r(0)=1,r(x)=0 với x\in \partial B_n.

Như vậy hàm xác suất r điều hòa trên miền \Omega= B_n\setminus (\partial B_n\cup\{0\}) và do đó nó luôn có thể được xác định duy nhất bằng điều kiện biên tại \partial B_n\cup\{0\}.

Trên đồ thị G với vai trò là một mạch điện, chúng ta biết hai định luật cơ bản:

– Định luật Kirchhoff: Tổng đại số cường độ dòng điện ra vào một nút trên mạch điện ngoại trừ cực âm và cực dương của nguồn điện luôn luôn bằng 0

\sum_{y\sim x} I(x,y)=0.

-Định luật Ohm: Cường độ dòng điện qua một đoạn dây dẫn bằng hiệu điện thế và độ dẫn của dây dẫn này

I(x,y)=(V(x)-V(y))C(x,y).

Bây giờ chúng ta xem xét mạch điện là đồ thị con B_n\subset G, trong đó các nút trên biên \partial B_n được chập lại thành một nút duy nhất s_n và mắc vào cực âm, còn cực dương được mắc vào gốc 0 với điện thế 1, đồ thị mới được tạo ra kí hiệu là \widehat{B_n}.

NetworkVới mọi đỉnh x\in\widehat{B_n}\setminus\{0,s_n\}, áp dụng định luật Kirchhoff và định luật Ohm, ta có

\sum_{y\sim x} I(x,y)=\sum_{y\sim x}(V(x)-V(y))C(x,y)=0.

Từ đó ta rút ra được

V(x)=\frac{\displaystyle\sum_{y\sim x} C(x,y)V(y)}{\displaystyle\sum_{y\sim x} C(x,y)},\ x\in\widehat{B_n}\setminus\{0,s_n\}.

Đặc biệt trên các cực thì V(0)=1, V(x)=V(s_n)=0 với mọi x\in\partial B_n. Như vậy, từ tính chất duy nhất của hàm điều hòa xác định bởi điều kiện biên ta có thể kết luận rằng xác suất r(x) chính là điện thế của nút x trên mạch điện \widehat{B_n}.

(còn tiếp)

Advertisements
Categories: Probability Theory

Phương trình Maxwell và định luật Kirchhoff

May 12, 2013 Leave a comment

Định luật Kirchhoff là một phương trình cơ bản trên mạch điện này được Gustav Kirchhoff đưa ra năm 1845. Thực ra, định luật này có thể xem là hệ quả rời rạc của phương trình Maxwell trong lý thuyết điện từ được công bố sau đó bởi James Maxwell sau đó trong những năm 1861, 1862.

Gustav Kirchhoff        Maxwell

Hình 1. Gustav Kirchhoff (trái)  và  James Maxwell (phải).

Bản chất của phương trình Maxwell nằm trong sự thống nhất cách mạng đầu tiên trong lý thuyết trường vật lý cổ điển. Điện trường E (xem như 1-dạng vi phân) cùng với từ trường B (xem như 2-dạng vi phân) trong không gian ba chiều Euclid thống nhất thành điện từ trường F trong không thời gian bốn chiều Minskowski

\displaystyle F=B+E\wedge dt.

Mặt khác, mật độ dòng điện j=(j_x,j_y,j_z) mà mật độ điện tích \rho cũng có thể thống nhất với nhau thành một 3-dạng vi phân, gọi là dạng dòng điện

\displaystyle J= \rho dx \wedge dy \wedge dz - (j_x dy\wedge dz + j_y dz\wedge dx + j_z dx\wedge dy)\wedge dt.

Phương trình Maxwell mô tả bản chất động lực học của điện từ trường, nếu sử dụng toán tử vi phân ngoài và đối ngẫu Hodge thì ta có cách nhìn khá đẹp đẽ

Đồng nhất thức Bianchi:  \displaystyle dF=0,        (1)

Phương trình Yang-Mills:  d\star F= J.       (2)

Hay nói cách khác, trong không thời gian Minskowski, điện từ trường là một 2-dạng vi phân đóng và suất khuyếch tán (div) của nó đúng bằng đối ngẫu Hodge dạng dòng điện. Viết dưới dạng hiệp biến, đó chính là các phương trình mô ta các định luật điện từ
– Luật từ trường Gauss:

\displaystyle \text{div} B=0,

– Luật cảm ứng điện từ Faraday:

\displaystyle \text{curl} E + \frac{\partial B} {\partial t}=0,

– Luật điện trường Gauss:

\displaystyle \text{div} E = \rho,

– Luật Ampère:

\displaystyle \text{curl} B - \frac{\partial E} {\partial t}=j.

Lấy vi phân ngoài của phương trình không thuần nhất (2) thì ta có hệ quả là dạng dòng điện là 3-dạng vi phân đóng

\displaystyle dJ=0.        (3)

Phương trình (3) cũng chính là phương trình bảo tồn của điện tích, được viết dưới dạng hiệp biến

\displaystyle \frac{\partial \rho} {\partial t}=-\text{div}j.        (4)

Lấy tích phân trên một đa tạp \Omega \subset \mathbb{R}^3 có biên là mặt kín \partial \Omega với trường vector định hướng ngoài n, sau  đó áp dụng định lý Gauss–Ostrogradsky thì (4) trở thành

\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\rho dV =-\int_{\partial\Omega}\langle j, n \rangle dS.       (5)

Hay nói cách khác thì (5) chính là nội dụng của định lý tiêu tán: khác cường độ dòng điện đi ra ngoài một mặt kín chính bằng suất tiêu tán của điện tích trong thể tích bọc bởi mặt kín này.

Trong trường hợp mật độ điện tích không đổi theo thời gian, thì vế trái của phương trình trên triệt tiêu. Mạch điện kín một chiều thường được xem xét là có điện tích không đổi. Với một lân cận \Omega đủ nhỏ để chỉ chứa một nút nối của mạch này và giả sử các dây dẫn chạy ra từ nút này giao với mặt biên \partial \Omega tại các thiết diện \partial \Omega_k. Thế thì từ (5) ta có

\displaystyle \sum_{k}I_k=\sum_{k}\int_{\partial \Omega_k} \langle j, n \rangle dS_k =0.

và đây cũng là phát biểu của định luật Kirchhoff: tổng đại số cường độ dòng điện qua một nốt của một mạch điện kín luôn bằng 0.

Kirchhoff's_law

Hình 2. Định luật Kirchhoff cho một nút có 2 dòng chạy vào và 3 dòng chạy ra.