Home > Mathematical Modelling, Theoretical Physics > Phương trình Maxwell và định luật Kirchhoff

Phương trình Maxwell và định luật Kirchhoff


Định luật Kirchhoff là một phương trình cơ bản trên mạch điện này được Gustav Kirchhoff đưa ra năm 1845. Thực ra, định luật này có thể xem là hệ quả rời rạc của phương trình Maxwell trong lý thuyết điện từ được công bố sau đó bởi James Maxwell sau đó trong những năm 1861, 1862.

Gustav Kirchhoff        Maxwell

Hình 1. Gustav Kirchhoff (trái)  và  James Maxwell (phải).

Bản chất của phương trình Maxwell nằm trong sự thống nhất cách mạng đầu tiên trong lý thuyết trường vật lý cổ điển. Điện trường E (xem như 1-dạng vi phân) cùng với từ trường B (xem như 2-dạng vi phân) trong không gian ba chiều Euclid thống nhất thành điện từ trường F trong không thời gian bốn chiều Minskowski

\displaystyle F=B+E\wedge dt.

Mặt khác, mật độ dòng điện j=(j_x,j_y,j_z) mà mật độ điện tích \rho cũng có thể thống nhất với nhau thành một 3-dạng vi phân, gọi là dạng dòng điện

\displaystyle J= \rho dx \wedge dy \wedge dz - (j_x dy\wedge dz + j_y dz\wedge dx + j_z dx\wedge dy)\wedge dt.

Phương trình Maxwell mô tả bản chất động lực học của điện từ trường, nếu sử dụng toán tử vi phân ngoài và đối ngẫu Hodge thì ta có cách nhìn khá đẹp đẽ

Đồng nhất thức Bianchi:  \displaystyle dF=0,        (1)

Phương trình Yang-Mills:  d\star F= J.       (2)

Hay nói cách khác, trong không thời gian Minskowski, điện từ trường là một 2-dạng vi phân đóng và suất khuyếch tán (div) của nó đúng bằng đối ngẫu Hodge dạng dòng điện. Viết dưới dạng hiệp biến, đó chính là các phương trình mô ta các định luật điện từ
– Luật từ trường Gauss:

\displaystyle \text{div} B=0,

– Luật cảm ứng điện từ Faraday:

\displaystyle \text{curl} E + \frac{\partial B} {\partial t}=0,

– Luật điện trường Gauss:

\displaystyle \text{div} E = \rho,

– Luật Ampère:

\displaystyle \text{curl} B - \frac{\partial E} {\partial t}=j.

Lấy vi phân ngoài của phương trình không thuần nhất (2) thì ta có hệ quả là dạng dòng điện là 3-dạng vi phân đóng

\displaystyle dJ=0.        (3)

Phương trình (3) cũng chính là phương trình bảo tồn của điện tích, được viết dưới dạng hiệp biến

\displaystyle \frac{\partial \rho} {\partial t}=-\text{div}j.        (4)

Lấy tích phân trên một đa tạp \Omega \subset \mathbb{R}^3 có biên là mặt kín \partial \Omega với trường vector định hướng ngoài n, sau  đó áp dụng định lý Gauss–Ostrogradsky thì (4) trở thành

\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\rho dV =-\int_{\partial\Omega}\langle j, n \rangle dS.       (5)

Hay nói cách khác thì (5) chính là nội dụng của định lý tiêu tán: khác cường độ dòng điện đi ra ngoài một mặt kín chính bằng suất tiêu tán của điện tích trong thể tích bọc bởi mặt kín này.

Trong trường hợp mật độ điện tích không đổi theo thời gian, thì vế trái của phương trình trên triệt tiêu. Mạch điện kín một chiều thường được xem xét là có điện tích không đổi. Với một lân cận \Omega đủ nhỏ để chỉ chứa một nút nối của mạch này và giả sử các dây dẫn chạy ra từ nút này giao với mặt biên \partial \Omega tại các thiết diện \partial \Omega_k. Thế thì từ (5) ta có

\displaystyle \sum_{k}I_k=\sum_{k}\int_{\partial \Omega_k} \langle j, n \rangle dS_k =0.

và đây cũng là phát biểu của định luật Kirchhoff: tổng đại số cường độ dòng điện qua một nốt của một mạch điện kín luôn bằng 0.

Kirchhoff's_law

Hình 2. Định luật Kirchhoff cho một nút có 2 dòng chạy vào và 3 dòng chạy ra.

  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: