Home > Probability Theory > Ngẫu nhiên trên mạch điện

Ngẫu nhiên trên mạch điện


Mạch điện một chiều có thể xem như là một đồ thị đơn G=(V,E) không có khuyên, liên thông, không định hướng, trong đó các đỉnh là nút của mạng điện còn các cạnh là dây dẫn giữa chúng. Đoạn dây dẫn giữa hai nút kề nhau xy bất kì đều coi là có một điện trở R(x,y), hay nói tương đương, độ dẫn (trọng số) của cạnh (x,y)C(x,y)=1/R(x,y).

Bây giờ giả sử có một người đi dạo trên các nút của đồ thị với quy tắc như sau: nếu người này đang ở nút x sẽ đi đến một nút kề cận y với xác suất tỉ lệ với độ dẫn của cạnh (x,y) so với các cạnh còn lại kề với x, nghĩa là xác suất này bằng

\displaystyle p(x,y)=\frac{\displaystyle C(x,y)}{\displaystyle\sum_{y\sim x} C(x,y)}.

Bây giờ kí hiệu X_n là vị trí của người đi dạo tại lần đi thứ n, thế thì với hai đỉnh x, y kề nhau thì \text{Pr}(X_{n+1}=y|X_{n}=x)=p(x,y), và xem p(x,y)=0 trong trường hợp x,y không kề nhau hoặc x\equiv y. Ma trận P=\{p(x,y)\}_{x,y\in V} gọi là ma trận xác suất chuyển. Rõ ràng vị trí của người đi bộ trong tương lại chỉ phụ thuộc vào vị trí hiện tại mà độc lập với các vị trí đã đi trong quá khứ, đặc trưng như vậy của quá trình đi dạo ngẫu nhiên của người đi bộ được gọi là tính “mất trí nhớ”.

Ta giả sử các quãng thời gian người đi dạo đi giữa các cặp hai nút kề nhau kế tiếp trong hành trình của mình là độc lập và cùng phân phối lũy thừa \text{Exp}(1) và kí hiệu vị trí của người đi bộ trên tại điểm tY_t. Khi đó nếu \tau_n là thời điểm mà người đi dao thực hiện bước đi thứ n  thì Y_{\tau_n}=X_n, hay nói cách khác quá trình vị trí của người đi dạo (X_n) có thể được nhúng trong quá trình (Y_t) với thời điểm liên tục. Với t\in \mathbb{R}_+ xét toán từ P_t xác định trên không gian các hàm bị chặn trên V như sau

P_tf(x)=\mathbf{E}(f(Y_t)|Y_0=x)=\displaystyle\sum_{y\in V}f(y)\text{Pr}(Y_t=y|Y_0=x).

Khi t đủ nhỏ, ta có

\text{Pr}(Y_t=y| Y_0=x)=\mathbf{1}_{\{x\sim y\}}p(x,y)(1-e^{-t})+o(t),

\text{Pr}(Y_t=x| Y_0=x)=e^{-t}+o(t).

Dễ thấy (P_t)_{t\in \mathbb{R}_+} có tính chất nửa nhóm, tức là P_{t+s}=P_tP_s. Toán tử đặc trưng của nửa nhóm toán từ này được tính bằng

\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{P_t-I}{t}=P-I=\Delta.

Viết một cách tường minh thì toán tử đặc trưng \Delta được xác định bởi

\displaystyle\Delta r(x)=(P-I)r(x)=\frac{\displaystyle\sum_{y\sim x} C(x,y)r(y)}{\displaystyle\sum_{y\sim x} C(x,y)}-r(x)

và được gọi là toán từ Laplace-Beltrami ứng với trọng số hàm trọng số C: V\to \mathbb{R}_+ trên đồ thị G. Hàm bị triệt tiêu bởi toán tử Laplace-Beltrami gọi là hàm điều hòa. Một hàm điều hòa trên một miền \Omega thì sẽ hoặc là hằng số hoặc là chỉ đạt cực trị trên biên \partial \Omega. Thật vậy, giả sử như hàm này đạt cực trị tại một điểm x_0 nào đó thuộc miền trong của \Omega. Trong khi đó do tính chất điều hòa, giá trị của hàm tại x_0 cũng là chính là trung bình giá trị của hàm tại các điểm kề cận với x_0. Do đó giá trị của hàm tại x_0 cũng như điểm kề cần với nó đều bằng nhau, và nguyên lý “domino” này làm cho hàm bằng hằng số trên trên toàn miền \Omega. Hệ quả của nguyên lý cực trị này của các hàm điều hòa là chúng có thể xác định một các duy nhất nếu xác định được các giá trị trên biên. Điều này dễ dàng nhận ra bằng tính chất là hiệu của hai hàm điều hòa cùng giá trị biên là một hàm điều hòa bị triệt tiêu trên biên, và đó bị triệt tiêu trên toàn miền nhờ nguyên lý cực trị. Bài toán tìm một hàm duy nhất xác định bằng giá trị như vậy gọi là bài toán Dirichlet.

Trở lại bài toán người đi dạo, ta đánh dấu nút đầu tiên mà người này xuất phát là 0 và kí hiệu B_n\subset V xem như là một “quả cầu” gồm tất cả các nút mà đường đi ngắn nhất từ 0 đến các nút đó không quá n, trong đó “biên” \partial B_n của “quả cầu” này là các nút với đường đi ngắn nhất đến 0 đúng bằng n. Bài toán thú vị đầu tiên mà chúng ta xét là giả sử rằng khi người đi bộ đến một nút x\in B_n thì xác suất sau đó người này quay về nút 0 trước khi đến biên \partial B_n là bao nhiêu?

Kí hiệu xác suất là r(x). Thế thì dựa vào tính “mất trí nhớ” của người đi dạo và công thức xác suất đầy đủ dễ thấy

\displaystyle r(x)=\sum_{y\sim x}p(x,y)r(y),\ \ \forall x\in B_n\setminus (\partial B_n\cup\{0\})

r(0)=1,r(x)=0 với x\in \partial B_n.

Như vậy hàm xác suất r điều hòa trên miền \Omega= B_n\setminus (\partial B_n\cup\{0\}) và do đó nó luôn có thể được xác định duy nhất bằng điều kiện biên tại \partial B_n\cup\{0\}.

Trên đồ thị G với vai trò là một mạch điện, chúng ta biết hai định luật cơ bản:

– Định luật Kirchhoff: Tổng đại số cường độ dòng điện ra vào một nút trên mạch điện ngoại trừ cực âm và cực dương của nguồn điện luôn luôn bằng 0

\sum_{y\sim x} I(x,y)=0.

-Định luật Ohm: Cường độ dòng điện qua một đoạn dây dẫn bằng hiệu điện thế và độ dẫn của dây dẫn này

I(x,y)=(V(x)-V(y))C(x,y).

Bây giờ chúng ta xem xét mạch điện là đồ thị con B_n\subset G, trong đó các nút trên biên \partial B_n được chập lại thành một nút duy nhất s_n và mắc vào cực âm, còn cực dương được mắc vào gốc 0 với điện thế 1, đồ thị mới được tạo ra kí hiệu là \widehat{B_n}.

NetworkVới mọi đỉnh x\in\widehat{B_n}\setminus\{0,s_n\}, áp dụng định luật Kirchhoff và định luật Ohm, ta có

\sum_{y\sim x} I(x,y)=\sum_{y\sim x}(V(x)-V(y))C(x,y)=0.

Từ đó ta rút ra được

V(x)=\frac{\displaystyle\sum_{y\sim x} C(x,y)V(y)}{\displaystyle\sum_{y\sim x} C(x,y)},\ x\in\widehat{B_n}\setminus\{0,s_n\}.

Đặc biệt trên các cực thì V(0)=1, V(x)=V(s_n)=0 với mọi x\in\partial B_n. Như vậy, từ tính chất duy nhất của hàm điều hòa xác định bởi điều kiện biên ta có thể kết luận rằng xác suất r(x) chính là điện thế của nút x trên mạch điện \widehat{B_n}.

(còn tiếp)

Categories: Probability Theory
  1. No comments yet.
  1. No trackbacks yet.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: