Archive

Archive for the ‘Mathematical Modelling’ Category

Phương trình Maxwell và định luật Kirchhoff

May 12, 2013 Leave a comment

Định luật Kirchhoff là một phương trình cơ bản trên mạch điện này được Gustav Kirchhoff đưa ra năm 1845. Thực ra, định luật này có thể xem là hệ quả rời rạc của phương trình Maxwell trong lý thuyết điện từ được công bố sau đó bởi James Maxwell sau đó trong những năm 1861, 1862.

Gustav Kirchhoff        Maxwell

Hình 1. Gustav Kirchhoff (trái)  và  James Maxwell (phải).

Bản chất của phương trình Maxwell nằm trong sự thống nhất cách mạng đầu tiên trong lý thuyết trường vật lý cổ điển. Điện trường E (xem như 1-dạng vi phân) cùng với từ trường B (xem như 2-dạng vi phân) trong không gian ba chiều Euclid thống nhất thành điện từ trường F trong không thời gian bốn chiều Minskowski

\displaystyle F=B+E\wedge dt.

Mặt khác, mật độ dòng điện j=(j_x,j_y,j_z) mà mật độ điện tích \rho cũng có thể thống nhất với nhau thành một 3-dạng vi phân, gọi là dạng dòng điện

\displaystyle J= \rho dx \wedge dy \wedge dz - (j_x dy\wedge dz + j_y dz\wedge dx + j_z dx\wedge dy)\wedge dt.

Phương trình Maxwell mô tả bản chất động lực học của điện từ trường, nếu sử dụng toán tử vi phân ngoài và đối ngẫu Hodge thì ta có cách nhìn khá đẹp đẽ

Đồng nhất thức Bianchi:  \displaystyle dF=0,        (1)

Phương trình Yang-Mills:  d\star F= J.       (2)

Hay nói cách khác, trong không thời gian Minskowski, điện từ trường là một 2-dạng vi phân đóng và suất khuyếch tán (div) của nó đúng bằng đối ngẫu Hodge dạng dòng điện. Viết dưới dạng hiệp biến, đó chính là các phương trình mô ta các định luật điện từ
– Luật từ trường Gauss:

\displaystyle \text{div} B=0,

– Luật cảm ứng điện từ Faraday:

\displaystyle \text{curl} E + \frac{\partial B} {\partial t}=0,

– Luật điện trường Gauss:

\displaystyle \text{div} E = \rho,

– Luật Ampère:

\displaystyle \text{curl} B - \frac{\partial E} {\partial t}=j.

Lấy vi phân ngoài của phương trình không thuần nhất (2) thì ta có hệ quả là dạng dòng điện là 3-dạng vi phân đóng

\displaystyle dJ=0.        (3)

Phương trình (3) cũng chính là phương trình bảo tồn của điện tích, được viết dưới dạng hiệp biến

\displaystyle \frac{\partial \rho} {\partial t}=-\text{div}j.        (4)

Lấy tích phân trên một đa tạp \Omega \subset \mathbb{R}^3 có biên là mặt kín \partial \Omega với trường vector định hướng ngoài n, sau  đó áp dụng định lý Gauss–Ostrogradsky thì (4) trở thành

\displaystyle\frac{\partial}{\partial t}\int_{\Omega}\rho dV =-\int_{\partial\Omega}\langle j, n \rangle dS.       (5)

Hay nói cách khác thì (5) chính là nội dụng của định lý tiêu tán: khác cường độ dòng điện đi ra ngoài một mặt kín chính bằng suất tiêu tán của điện tích trong thể tích bọc bởi mặt kín này.

Trong trường hợp mật độ điện tích không đổi theo thời gian, thì vế trái của phương trình trên triệt tiêu. Mạch điện kín một chiều thường được xem xét là có điện tích không đổi. Với một lân cận \Omega đủ nhỏ để chỉ chứa một nút nối của mạch này và giả sử các dây dẫn chạy ra từ nút này giao với mặt biên \partial \Omega tại các thiết diện \partial \Omega_k. Thế thì từ (5) ta có

\displaystyle \sum_{k}I_k=\sum_{k}\int_{\partial \Omega_k} \langle j, n \rangle dS_k =0.

và đây cũng là phát biểu của định luật Kirchhoff: tổng đại số cường độ dòng điện qua một nốt của một mạch điện kín luôn bằng 0.

Kirchhoff's_law

Hình 2. Định luật Kirchhoff cho một nút có 2 dòng chạy vào và 3 dòng chạy ra.

Advertisements

Nghiệm Cauchy-Kovalevski-Somigliana cho hệ Navier

August 9, 2011 Leave a comment

Từ định luật II Newton chúng ta có phương trình Cauchy cho chuyển động của một thể vật chất liên tục

\displaystyle \nabla .\,\mathbf{\sigma }+\mathbf{f}=\rho \frac{\partial^2 \mathbf{u}}{\partial t^2}

trong đó \boldsymbol{\sigma} là trường Cauchy stress tensor, \mathbf{u} là trường vector dịch chuyển của thể vật chất, \mathbf{f} là trường lực khối, và \rho là mật độ vật chất.

Ở đây chúng ta xét cho một thể đàn hồi đẳng hướng. Khi đó theo định luật Hooke

\boldsymbol{\sigma} = \lambda~\mathrm{trace}(\boldsymbol{\varepsilon})~\mathbf{I} + 2\mu~\boldsymbol{\varepsilon}
trong đó \lambda,\mu>0 là các hệ số Lamé, \mathbf{I} tensor bậc hai đơn vị và \boldsymbol{\varepsilon} là trường infinitesimal strain tensor xác định bởi
 \boldsymbol{\varepsilon} =\tfrac{1}{2} \left[\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u}+(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T\right]\,\!

Thay nó vào lại phương trình Cauchy ta thu được phương trình Navier (còn gọi là phương trình sóng động đàn hồi)

(\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u})+\mu~\nabla^2\mathbf{u}+\mathbf{f}= \rho~\ddot{\mathbf{u}}

Dưới dạng tọa độ, ta có hệ

(\lambda+\mu)\frac{\partial }{\partial x_k}\text{div}(u)+\mu \nabla^2 u_k +f_k = \rho \frac{\partial^2 u_k}{\partial t^2}, \ \ k=1,2,3

Có nhiều biểu diễn nghiệm riêng cho hệ trên, ở đây thì ta bàn đến một sự liên quan đến nghiệm của phương trình sóng kép (biwave equation).

Bây giờ nếu ta đặt a^2=(\lambda+2\mu)/\rho, b^2=\mu/\rho, thì phương trình Navier viết lại thành

\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\mathbf{u}-(a^2-b^2)\nabla(\text{div}(\mathbf{u}))-\mathbf{f}/\rho =0 \ \ \ \ (*)
Giả sử \mathbf{w} là nghiệm của phương trình sóng kép có dạng
\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\mathbf{w}=\mathbf{f}/\rho

Khi đó công thứ Cauchy-Kovalevski-Somigliana

u=\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\mathbf{w}+(a^2-b^2)\nabla(\text{div}(\mathbf{w})) \  \  \ (**)cho ta một nghiệm của (*).

Thật thế, nếu thay (**) vào vế trái của (*) thì ta được
LHS=\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\left(\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\mathbf{w}+(a^2-b^2)\nabla(\text{div}(\mathbf{w})) \right)

- (a^2-b^2)\nabla\left( \left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\text{div}(\mathbf{w})+(a^2-b^2)\nabla^2(\text{div}(\mathbf{w})) \right)-\mathbf{f}/\rho

Trong đó chú ý

\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\text{div}(\mathbf{w})+(a^2-b^2)\nabla^2(\text{div}(\mathbf{w})) = \left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\text{div}(\mathbf{w})

Như vậy

LHS=\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -a^2 \nabla^2 \right)\mathbf{w}+(a^2-b^2) \left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)\nabla(\text{div}(\mathbf{w}))
-(a^2-b^2) \nabla\left( \frac{\partial^2 }{\partial t^2} -b^2 \nabla^2 \right)(\text{div}(\mathbf{w})) - \mathbf{f}/\rho =0

Phương trình chuyển động Cauchy

August 4, 2011 5 comments

Ngoại lực tác động lên một thể vật chất gồm có:
– Lực khối (body force) tác động vào mỗi đơn vị thể tích, ký hiệu bởi trường vector \mathbf{f}=({{f}_{i}}).
– Lực bề mặt (surface force) hay ứng suất (stress) là lực tác động mỗi đơn vị diện tích bề mặt.
Xét thể vật chất chiếm thể tích trong miền \Omega \subset {{\mathbb{R}}^{d}} với biên bị chặn, trơn từng miếng \partial \Omega với trường vector pháp tuyến tương ứng là \mathbf{n}. Giả sử {{\mathbf{T}}^{(\mathbf{n})}}=(T_{i}^{(\mathbf{n})}) là một trường vector ứng suất tác động lên mỗi đơn vị diện tích của bề mặt \partial \Omega . khi đó định lý ứng suất Cauchy (Cauchy’s stress theorem) phát biểu rằng tồn tại trường tensor bậc hai \mathbf{\sigma }=({{\sigma }_{ij}}) sao cho

\displaystyle{{\mathbf{T}}^{(\mathbf{n})}}=\mathbf{\sigma }\,.\,\mathbf{n} hay T_{j}^{(\mathbf{n})}={{\sigma }_{ij}}{{n}_{i}}.             (1)

https://i0.wp.com/upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Components_stress_tensor_cartesian.svg/500px-Components_stress_tensor_cartesian.svg.png

Ta gọi \mathbf{\sigma }=({{\sigma }_{ij}}) là trường tensor ứng suất Cauchy (Cauchy stress tensor), và nó mô tả trường vector ứng suất như là một hàm phụ thuộc tuyến tính theo trường vector pháp tuyến.
Theo định luật thứ hai của Newton, ta có

\displaystyle \int_{\partial \Omega }{{{\mathbf{T}}^{(\mathbf{n})}}}ds+\int_{\Omega }{\mathbf{f}}dV=\frac{d}{dt}\int_{\Omega }{\rho }\mathbf{v}dV,      (2)

trong đó \mathbf{v} là trường vector vận tốc của mỗi phần tử của thể vật chất, \rho là mật độ vật chất.
Ta lại có

\displaystyle \frac{d}{dt}\int_{\Omega }{\rho \,\mathbf{v}dV} =\int_{\Omega }{\frac{\partial (\rho \,\mathbf{v})}{\partial t}dV}+\int_{\partial\Omega }{(\rho \,\mathbf{v}.\,\mathbf{n})\,\mathbf{v}\,ds}

\displaystyle =\int\limits_{\Omega }{\left[ \left( \rho \frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}+\frac{\partial \rho }{\partial t}\mathbf{v} \right)+\,\left( \nabla .\,\rho \,\mathbf{v}\, \right)\,\mathbf{v}+\left( \rho \mathbf{v}.\nabla \right)\mathbf{v} \right]dV}.

\displaystyle =\int\limits_{\Omega }{\rho \left[ \frac{\partial }{\partial t}+\mathbf{v}.\nabla \right]\mathbf{v}dV}+\int\limits_{\Omega }{\left[ \frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla .(\rho \,\mathbf{v}) \right]\mathbf{v}dV}.      (3)
trong đó chú ý áp dụng định lý Gauss–Ostrogradsky (Gauss–Ostrogradsky’s divergence theorem). Giả sử khối lượng được bảo tồn, khi đó số hạng thứ hai trong biểu thức cuối ứng với sự thay đổi của luồng khối lượng theo thời gian sẽ bị triệt tiêu (chúng ta chú ý phương trình của thể vật chất liên tục

\displaystyle \frac{\partial \rho }{\partial t}+\nabla .(\rho \,\mathbf{v}) =0

)

Thay thế (1)-(3) vào (2) và ta có

\displaystyle \int\limits_{\Omega }{\left( \nabla .\,\mathbf{\sigma }+\mathbf{f}-\rho \frac{D\,\mathbf{v}}{Dt} \right)}\,\,dV=\mathbf{0}.

Trong đó D/Dt là ký hiệu của đạo hàm vật chất (material derivative), xác định với mỗi trường vector \mathbf{\varphi } như sau

\displaystyle\frac{D\mathbf{\varphi }}{Dt}=\frac{\partial \mathbf{\varphi }}{\partial t}+(\mathbf{v}\,.\nabla )\mathbf{\varphi }.

Từ đó ta thu được

\displaystyle \nabla .\,\mathbf{\sigma }+\mathbf{f}=\rho \frac{D\mathbf{v}}{Dt}          (4)

và được gọi là phương trình chuyển động Cauchy (Cauchy’s equation of motion). Có thể viết (4) dưới dạng tọa độ Cartesian như sau

\displaystyle\sum\limits_{j=1}^{n}{\frac{\partial }{\partial {{x}_{j}}}{{\sigma }_{ij}}}+{{f}_{i}}=\rho \left[ \frac{\partial }{\partial t}+\sum\limits_{j=1}^{d}{{{v}_{j}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{j}}}} \right]{{v}_{i}}