Archive

Archive for the ‘Real Analysis’ Category

Construction of Borel sigma-algebra

February 6, 2013 Leave a comment

Let (S, <) be an uncountable well-ordered set, and let 1 stand for the minimum element of S. We denote A as the set of all elements \alpha\in S such that the set of its predecessors \text{Pre}_{\alpha}=\{x\in S \ | \ x<\alpha\} is uncountable. If the set A is empty, we will replace S by S\cup\{s^*\}, where s^*\notin S, and set x<s^* for all x\in S.

Since A is a nonempty subset of the well-order set S, so there exists a unique minimum element \omega_1 called first uncountable ordinal. Therefore, if x<\omega_1 then \text{Pre}_x is countable.

Exercise. Give an example for an uncountable set with a well-order relation.

Theorem 1. (Transfinite induction) Let P(\alpha) be a property defined for all \alpha \in S. Suppose that:

1. P(1) is true,

2. for each \alpha<\omega_1, if P(\beta) is true for all \beta < \alpha, then P(\alpha) is also true.

Therefore, P(\alpha) is true for all \alpha <\omega_1.

Proof.

Let \Omega be the set of \alpha <\omega_1 such that P(\alpha) is false. Suppose that \Omega \neq \emptyset. Since \Omega is nonempty subset of the well-ordered set S, there exists an unique minimum element \alpha^*\in \Omega. Observe  that, \alpha^*\neq 1 and the set of its predecessors \text{Pre}_{\alpha^*} is countable. Hence, the property P is true for 1 and all  predecessors of \alpha^*. So it implies that P(\alpha^*) is also true. This inconsistency completes our proof.

Theorem 2. For any sequence \alpha_1,\alpha_2 .... in S, \alpha_i<\omega_1, there exists \alpha^*<\omega_1 such that \alpha_i<\alpha^*<\omega_1 .

Proof. Note that T =\bigcup_{i=1}^{\infty}\left(\{\alpha_i\}\cup \text{Pre}_{\alpha_i}\right) is countable. Therefore, we can choose \alpha^* as an element in the uncountable set \text{Pre}_{\omega_1}\setminus T .

Now let \Sigma_1 stand for the family of all open sets, and \Pi_1 be the family of all closed sets (considered in a topology space). Suppose that \Sigma_{\beta}, \Pi_{\beta} are defined for all \beta <\alpha,  then we can define

By the principle of transfinite induction, \Sigma_{\alpha},\Pi_{\alpha} are well-defined for every \alpha<\omega_1.

Lemma 3. 1. \Pi_{\alpha}=\{A^c \ | \ A\in\Sigma_{\alpha}\}, \Sigma_{\alpha}=\{A^c \ | \ A\in\Pi_{\alpha}\} for 1\le \alpha <\omega_1

and for 1\le \beta<\alpha<\omega_1 then

2.  \Sigma_{\beta}\subset \Pi_{\alpha}, \Pi_{\beta}\subset \Sigma_{\alpha};

3. \Sigma_{\beta}\subset \Sigma_{\alpha}, \Pi_{\beta}\subset \Pi_{\alpha}.

Proof.

1. The fact is true for \alpha=1. Assume that it is true for all \beta<\alpha, then

for each A\in \Pi_{\alpha}, we have A=\bigcap_{i=1}^{\infty} A_{i}, where A_i\in \Sigma_{\beta_i}, \beta_i<\alpha. Moreover,  A_{i}^c \in \Pi_{\beta_i}. It allows that A^c=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}^c \subset \Sigma_{\alpha}. Therefore, by the principle of transfinite induction, we conclude that \Pi_{\alpha}=\{A^c \ | \ A\in\Sigma_{\alpha}\}, and similarly, \Sigma_{\alpha}=\{A^c \ | \ A\in\Pi_{\alpha}\} for 1\le \alpha <\omega_1.

2. This fact is obvious.

3. If A\in \Sigma_{\beta}, then  A=\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}, A_i\in \Pi_{\gamma_i} where \gamma_i<\beta < \alpha. This obviously implies that A\in \Sigma_{\alpha}. So \Sigma_{\beta}\subset \Sigma_{\alpha} and similarly, \Pi_{\beta}\subset \Pi_{\alpha}.

Theorem 4. The Borel sigma-algebra, i.e. smallest sigma-algebra that consists all open (closed) sets, is given by \mathfrak{B}=\bigcup_{\alpha<\omega_1}\Sigma_{\alpha}=\bigcup_{\alpha<\omega_1}\Pi_{\alpha}

Proof.  Lemma 3.2 help us to prove the identity \bigcup_{\alpha<\omega_1}\Sigma_{\alpha}=\bigcup_{\alpha<\omega_1}\Pi_{\alpha}.

It is easy to show that \mathfrak{B} is closed under complement by applying Lemma 3.1.

If A_i\in \mathfrak{B}, i=1,2,... then A_i \in \Pi_{\alpha_i}, \alpha_i<\omega_1.

Applying Theorem 2, there exists \alpha^* such that \alpha_i<\alpha^*<\omega_1. So it implies that

Moreover, one can show by the transfinite induction that \Sigma_{\alpha}, \Pi_{\alpha} are subsets of any sigma algebra that contains all closed (open) sets. So we can conclude that \mathfrak{B} is the Borel sigma-algebra that we need to understand its structure.

Categories: Real Analysis

Chiều Hausdorff và năng lượng Bessel–Riesz

April 6, 2011 Leave a comment

Chiều Haudorff của một tập được định nghĩa là infimum của tập các giá trị d không âm sao cho độ đo Hausdorff d-chiều của tập đó bằng 0. Công việc tính chiều Haudorff của tập nào đó không phải lúc nào cũng thuận lợi, tuy nhiên với tập compact E trong \mathbb R^n ta có thể ước lượng chận trên bằng các chiều hộp Minkowski

\dim(E)\le \dim_{\text{lower box}}(E) \leq \dim_{\text{upper box}} (E)

Câu hỏi nảy sinh cho chận dưới được trả lời trong PhD thesis năm 1935 của Otto Frostman

Định lý 1. Giả sử tổn tại một độ đo xác suất \mu trên tập compact E\subset \mathbb R^d thỏa mãn: có các hằng số \alpha, C sao cho với r\in(0,1) thì

\mu(B_{\infty}(y,r))\le Cr^{\alpha}với \mu-hầu khắp các giá trị của y \in\mathbb R^d. Khi đó
\dim(E)\ge \alpha

Định lý 2. Nếu chiều của tập compact E không bé hơn \alpha thế thì với \beta<\alpha luôn tồn tại độ đo xác suất \mu trên E sao cho

\sup_{x\in\mathbb R^d}\sup_{r\in(0,1)}\frac{\mu(B_{\infty}(y,r))}{r^{\beta}}<\infty

Chúng ta gọi năng lượng Bessel–Riesz \alpha-chiều của độ đo xác suất \mu trên tập compact E\subset \mathbb R^d là đại lượng

\text{Energy}_{\alpha}(\mu)=\int_{\mathbb R^d}\int_{\mathbb R^d}|x-y|^{-\alpha}\mu(dx)\mu(dy)Capacity của E sẽ là đại lượng
\text{Cap}_{\alpha}(E)=(\inf_{\mu \in \mathcal{P}(E)} \text{Energy}_{\alpha}(\mu))^{-1}

Giả sử với giá trị nào đó của \alpha>0 thì \text{Cap}_{\alpha}(E)>0. Theo tính chất của inf, tồn tại dãy độ đo xác suất \mu_n trên E sao cho chúng có năng lượng hữu hạn và

(1+1/n)(\text{Cap}_{\alpha}(E))^{-1}\ge \text{Energy}_{\alpha}(\mu_n)\ge (\text{Cap}_{\alpha}(E))^{-1}
Giả sử \mu là giới hạn riêng của (\mu_n), thế thì \mu cũng là độ đo xác suất trên E hơn nữa \text{Energy}_{\alpha}(\mu_n)\ge (\text{Cap}_{\alpha}(E))^{-1}

Tồn tại dãy con (\mu_{n_k}) hội tụ yếu về \mu nên với r>0 ta có
\iint_{|x-y|\ge r}|x-y|^{-\alpha}\mu(dx)\mu(dy)=\lim_{k\to\infty}\iint_{|x-y|\ge r}|x-y|^{-\alpha}\mu_{n_k}(dx)\mu_{n_k}(dy)\le (\text{Cap}_{\alpha}(E))^{-1}

Khi r\to 0, áp dụng Lebesgue’s dominated convergence theorem ta suy ra

\text{Energy}_{\alpha}(\mu)= (\text{Cap}_{\alpha}(E))^{-1}

Độ đo xác suất \mu như vậy gọi là equilibrium measure.

Frostman cũng chỉ ra được rằng

Định lý 3
Nếu \mu như vậy gọi là equilibrium measure trên tập compact E, thế thì với \mu hầu khắp nơi x\in\mathbb R^d thế thì

\text{Energy}_{\alpha}(\mu)=\int_{\mathbb R^d}|x-y|^{-\alpha}\mu(dy)

Chúng ta định nghĩa capacitary dimension của một tập compact E\subset \mathbb R^d là chận trên đúng của giá trị \alpha sao cho \text{Cap}_{\alpha}(E)>0, kí hiệu là \dim_{\mathcal C}(E)

Điều rất thú vị là Capacitary dimension và Hausdorff dimension trùng nhau, điều này giúp ta có thể đánh giá chiều Hausdorff thông qua việc đánh giá sự hữu hạn của năng lượng Bessel–Riesz \alpha-chiều ứng với equilibrium measure.

Định lý 4.
Với tập compact E\subset \mathbb R^d thế thì

\dim(E)=\dim_{\mathcal C}(E)

Thật vậy, giả sử \mu như vậy gọi là equilibrium measure trên tập compact E, thế thì
\mu(B_{\infty}(x,r)\le r^{\alpha}\int_{\mathbb R^d}|x-y|^{-\alpha}\mu(dy)=\text{Energy}_{\alpha}(\mu) r^{\alpha}
Theo định lý 2 thì \dim(E)\ge \alpha, điều này suy ra \dim(E)\ge \dim_{\mathcal C}(E). (*)

Thep định lý 3, nếu \beta<\dim(E) thế thì tồn tại độ đo xác suất \mu trên E sao cho

\mu(B_{\infty}(x,r))\le C r^{\beta}, \forall x\in \mathbb R^d, r\in(0,1)

Khi đó
\text{Energy}_{\gamma}(\mu)=\sum_{i=0}^{\infty}\iint_{\frac{\text{diam}(E)}{2^{i+1}}\le|x-y|\le \frac{\text{diam}(E)}{2^{i}}}|x-y|^{-\gamma}\mu(dx)\mu(dy)
\le \sum_{i=0}^{\infty} \frac{2^{\gamma(i+1)}}{(\text{diam}(E))^{\gamma}} \sup_{x\in\mathbb R^d}\mu(B_{\infty}(x,\frac{\text{diam}(E)}{2^{i}}))
\le C  2^{\gamma}(\text{diam}(E))^{\beta-\gamma} \sum_{i=0}^{\infty} 2^{(\gamma-\beta)i}
hội tụ khi \gamma<\beta. Khi đó \text{Cap}_{\gamma}(E)>0 với mọi \gamma< \dim(E) hay \dim_{\mathcal C}(E)\ge \gamma với mọi \gamma< \dim(E), suy ra \dim_{\mathcal C}(E)\ge \dim(E). (**)
Từ (*),(**) ta được điều phải chứng minh.