Matrix Theory

Tích Kronecker


V_1, V_2,...,V_k là các không gian tuyến tính với số chiều tương ứng là n_1,...,n_k, các cơ sở tương ứng là
\{e_{11},e_{12},...,e_{1n_1}\}, \{e_{21},e_{22},...,e_{2n_2}\},...,\{e_{k1},e_{k2},...,e_{kn_k}\}

Xét các ánh xạ tuyến tính {\varphi}_i: V_i\rightarrow W_i, i=1,2,...,k,

Xét ánh xạ tuyến tính xác định bởi

\psi: V_1\otimes V_2\otimes...\otimes V_k \rightarrow W_1\otimes W_2\otimes...\otimes W_k

sao cho \psi(e_{1i_1}\otimes e_{2i_2}\otimes...\otimes e_{ki_k})= {\varphi}_1(e_{1i_1})\otimes{\varphi}_2(e_{2i_1})\otimes...\otimes{\varphi}_1(e_{ki_k}) trong đó 1\le i_j \le n_j, j=1,2,...,k.

Dễ thấy \psi(u_1\otimes u_2\otimes...\otimes u_k)={\varphi}_1(u_1)\otimes{\varphi}_2(u_2)\otimes...\otimes{\varphi}_k(u_k) với (u_1,u_2,...,u_k)\in V_1\times V_2\times...\times V_k

\psi được gọi là tích tensor của các ánh xạ tuyến tính {\varphi}_i,  i=1,2,...,k

Ta xét trường hợp tích tensor của hai ánh xạ tuyến tính

{\varphi}_1: V_1\rightarrow W_1
{\varphi}_2: V_2\rightarrow W_2

Với \{e_1,e_2,...,e_n\}, \{e'_1,e'_2,...,e'_{n'}\},\{{\epsilon}_1,{\epsilon}_2,...,{\epsilon}_m \},\{{\epsilon'}_1,{\epsilon'}_2,...,{\epsilon'}_{m'} \} tương ứng là cơ sở của V_1, V_2, W_1, W_2

\displaystyle{\varphi}_1(e_j)=\sum_{i=1}^{m} a_{ij}{\epsilon}_i với j=1,2,...,n
\displaystyle{\varphi}_2(e'_q)=\sum_{p=1}^{m'} b_{pq}{\epsilon'}_p với q=1,2,...,n'

Khi đó
\displaystyle{\varphi}_1\otimes{\varphi}_2(e_j\otimes e'_q)=\sum_{1\le i\le m, 1\le p\le m'} a_{ij} b_{pq} {\epsilon}_i \otimes{\epsilon'}_p,
với j=1,2,...,nq=1,2,...,n'

Xét các ma trận tương ứng của {\varphi}_1{\varphi}_2A=(a_{ij}), B=(b_{pq}). Ma trận tương ứng của {\varphi}_1\otimes{\varphi}_2 gọi là tích Kronecker của A và B, ký hiệu A\otimes B.

Như vậy A\otimes B có dạng khối (a_{ij}B) hay (b_{pq}A)

Ta có các kết quả sau:

Với A là ma trận cấp m\times n, B là ma trận cấp p\times q

1. (\sum_{i=1}^rA_i)\otimes(\sum_{j=1}^sBj)=\sum_{i=1}^r\sum_{i=1}^sA_i\otimes Bj
2. (A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD, với A, B, C, D phù hợp nhau về số chiều trong tích ma trận thông thường
3. A\otimes B=(A\otimes I_p)diag(B,B,...,B)
4. A, B trực giao hoặc lũy linh thì tích Kronecker cũng trực giao hoặc lũy linh
5. (A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}, với A, B khả nghịch
6. (A\otimes B)^T=A^T\otimes B^T