Matrix Theory

Tích Kronecker


V_1, V_2,...,V_k là các không gian tuyến tính với số chiều tương ứng là n_1,...,n_k, các cơ sở tương ứng là
\{e_{11},e_{12},...,e_{1n_1}\}, \{e_{21},e_{22},...,e_{2n_2}\},...,\{e_{k1},e_{k2},...,e_{kn_k}\}

Xét các ánh xạ tuyến tính {\varphi}_i: V_i\rightarrow W_i, i=1,2,...,k,

Xét ánh xạ tuyến tính xác định bởi

\psi: V_1\otimes V_2\otimes...\otimes V_k \rightarrow W_1\otimes W_2\otimes...\otimes W_k

sao cho \psi(e_{1i_1}\otimes e_{2i_2}\otimes...\otimes e_{ki_k})= {\varphi}_1(e_{1i_1})\otimes{\varphi}_2(e_{2i_1})\otimes...\otimes{\varphi}_1(e_{ki_k}) trong đó 1\le i_j \le n_j, j=1,2,...,k.

Dễ thấy \psi(u_1\otimes u_2\otimes...\otimes u_k)={\varphi}_1(u_1)\otimes{\varphi}_2(u_2)\otimes...\otimes{\varphi}_k(u_k) với (u_1,u_2,...,u_k)\in V_1\times V_2\times...\times V_k

\psi được gọi là tích tensor của các ánh xạ tuyến tính {\varphi}_i,  i=1,2,...,k

Ta xét trường hợp tích tensor của hai ánh xạ tuyến tính

{\varphi}_1: V_1\rightarrow W_1
{\varphi}_2: V_2\rightarrow W_2

Với \{e_1,e_2,...,e_n\}, \{e'_1,e'_2,...,e'_{n'}\},\{{\epsilon}_1,{\epsilon}_2,...,{\epsilon}_m \},\{{\epsilon'}_1,{\epsilon'}_2,...,{\epsilon'}_{m'} \} tương ứng là cơ sở của V_1, V_2, W_1, W_2

\displaystyle{\varphi}_1(e_j)=\sum_{i=1}^{m} a_{ij}{\epsilon}_i với j=1,2,...,n
\displaystyle{\varphi}_2(e'_q)=\sum_{p=1}^{m'} b_{pq}{\epsilon'}_p với q=1,2,...,n'

Khi đó
\displaystyle{\varphi}_1\otimes{\varphi}_2(e_j\otimes e'_q)=\sum_{1\le i\le m, 1\le p\le m'} a_{ij} b_{pq} {\epsilon}_i \otimes{\epsilon'}_p,
với j=1,2,...,nq=1,2,...,n'

Xét các ma trận tương ứng của {\varphi}_1{\varphi}_2A=(a_{ij}), B=(b_{pq}). Ma trận tương ứng của {\varphi}_1\otimes{\varphi}_2 gọi là tích Kronecker của A và B, ký hiệu A\otimes B.

Như vậy A\otimes B có dạng khối (a_{ij}B) hay (b_{pq}A)

Ta có các kết quả sau:

Với A là ma trận cấp m\times n, B là ma trận cấp p\times q

1. (\sum_{i=1}^rA_i)\otimes(\sum_{j=1}^sBj)=\sum_{i=1}^r\sum_{i=1}^sA_i\otimes Bj
2. (A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD, với A, B, C, D phù hợp nhau về số chiều trong tích ma trận thông thường
3. A\otimes B=(A\otimes I_p)diag(B,B,...,B)
4. A, B trực giao hoặc lũy linh thì tích Kronecker cũng trực giao hoặc lũy linh
5. (A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}, với A, B khả nghịch
6. (A\otimes B)^T=A^T\otimes B^T

Matrix Theory

Tích Tensor các không gian Tuyến tính


Bài này nhằm mục đích giúp các bạn tiếp cận với Đại số Đa tuyến Tính một các trực quan trên cơ sở đã hiểu biết Đại số Tuyến tính, tránh bắt gặp ban đầu các lý thuyết quá trừu tượng… Hi vọng bạn đọc cho ý kiến đóng góp.

V_1, V_2,...,V_k là các không gian tuyến tính với số chiều tương ứng là n_1,...,n_k, các cơ sở tương ứng là
\{e_{11},e_{12},...,e_{1n_1}\}, \{e_{21},e_{22},...,e_{2n_2}\},...,\{e_{k1},e_{k2},...,e_{kn_k}\},
V là một không gian tuyến tính

Một ánh xạ f từ V_1\times V_2\times ...\times V_k\rightarrow V,

được gọi là ánh xạ k-tuyến tính nếu là tuyến tính tại mỗi thành phần u_i của (u_1,u_2,...,u_k)\in V_1\times V_2\times ...\times V_k (khi cố định các thành phần còn lại). Ta có:

\displaystyle f(\sum_{1\le i_1\le n_1} x_{1i_1}e_{1i_k},....,\sum_{1\le i_k\le n_k} x_{ki_k}e_{ki_k})
=\displaystyle\sum_{1\le i_j\le n_j, 1\le j\le k} x_{1i_1}x_{2i_2}...x_{ki_k}f(e_{1i_1},e_{2i_2},...,e_{ki_k})

Như vậy f có thể xác định qua n_1.n_2...n_k giá trị của f(e_{1i_1},e_{2i_2}...,e_{ki_k}) với 1\le i_j\le n_j, j=1,2,...,k

Khi V có số chiều là 1, thì f gọi là dạng k-tuyến tính (hình dung lại dạng song tuyến tính quen thuộc)

Xét không gian n_1.n_2...n_k chiều T với vector cơ sở có dạng \epsilon_{i_1,i_2,..,i_k} với 1\le i_j \le n_j, j=1,2,...,k.

Ta xây dựng ánh xạ k-tuyến tính  \widehat{f}: V_1\times V_2\times ...\times V_k\rightarrow T sao cho

\displaystyle f(\sum_{1\le i_1\le n_1} x_{1i_1}e_{1i_k},....,\sum_{1\le i_k\le n_k} x_{ki_k}e_{ki_k})
\displaystyle=\sum_{1\le i_j\le n_j, 1\le j\le k} x_{1i_1}x_{2i_2}...x_{ki_k}\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k}

Khi đó có ánh xạ tuyến tính \overline{f}:T\rightarrow V sao cho
\overline{f}(\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k})=f(e_{1i_1},e_{2i_2},...e_{ki_k})

Rõ ràng \overline{f}\widehat{f}=f

\overline{f} xác định thỏa mãn đẳng thức trên là duy nhất theo f

Cặp (T, \widehat{f}) xây dựng như vậy gọi là tích Tensor của V_1, V_2,...,V_k, kí hiệu T=V_1\otimes V_2\otimes...\otimes V_k

Người ta cũng kí hiệu \widehat{f}(u_1,u_2,...,u_k)= u_1\otimes u_2\otimes...\otimes u_k
với (u_1,...,u_k)\in V_1\times V_2\times ...\times V_k

Và do đó:

\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k}= \widehat{f}(e_{1i_1},e_{2i_2},...,e_{ki_k})= e_{1i_1}\otimes e_{2i_2}\otimes...\otimes e_{ki_k}