Archive

Posts Tagged ‘Linear Algebra’

Tích Kronecker

June 2, 2009 Leave a comment

là các không gian tuyến tính với số chiều tương ứng là , các cơ sở tương ứng là

Xét các ánh xạ tuyến tính

Xét ánh xạ tuyến tính xác định bởi

sao cho trong đó

Dễ thấy với

được gọi là tích tensor của các ánh xạ tuyến tính

Ta xét trường hợp tích tensor của hai ánh xạ tuyến tính


Với tương ứng là cơ sở của

với
với

Khi đó

với

Xét các ma trận tương ứng của . Ma trận tương ứng của gọi là tích Kronecker của A và B, ký hiệu .

Như vậy có dạng khối hay

Ta có các kết quả sau:

Với A là ma trận cấp , B là ma trận cấp

1.
2. , với A, B, C, D phù hợp nhau về số chiều trong tích ma trận thông thường
3.
4. A, B trực giao hoặc lũy linh thì tích Kronecker cũng trực giao hoặc lũy linh
5. , với A, B khả nghịch
6.

Tích Tensor các không gian Tuyến tính

July 19, 2008 Leave a comment

Bài này nhằm mục đích giúp các bạn tiếp cận với Đại số Đa tuyến Tính một các trực quan trên cơ sở đã hiểu biết Đại số Tuyến tính, tránh bắt gặp ban đầu các lý thuyết quá trừu tượng… Hi vọng bạn đọc cho ý kiến đóng góp.

V_1, V_2,...,V_k là các không gian tuyến tính với số chiều tương ứng là n_1,...,n_k, các cơ sở tương ứng là
\{e_{11},e_{12},...,e_{1n_1}\}, \{e_{21},e_{22},...,e_{2n_2}\},...,\{e_{k1},e_{k2},...,e_{kn_k}\},
V là một không gian tuyến tính

Một ánh xạ f từ V_1\times V_2\times ...\times V_k\rightarrow V,

được gọi là ánh xạ k-tuyến tính nếu là tuyến tính tại mỗi thành phần u_i của (u_1,u_2,...,u_k)\in V_1\times V_2\times ...\times V_k (khi cố định các thành phần còn lại). Ta có:

\displaystyle f(\sum_{1\le i_1\le n_1} x_{1i_1}e_{1i_k},....,\sum_{1\le i_k\le n_k} x_{ki_k}e_{ki_k})
=\displaystyle\sum_{1\le i_j\le n_j, 1\le j\le k} x_{1i_1}x_{2i_2}...x_{ki_k}f(e_{1i_1},e_{2i_2},...,e_{ki_k})

Như vậy f có thể xác định qua n_1.n_2...n_k giá trị của f(e_{1i_1},e_{2i_2}...,e_{ki_k}) với 1\le i_j\le n_j, j=1,2,...,k

Khi V có số chiều là 1, thì f gọi là dạng k-tuyến tính (hình dung lại dạng song tuyến tính quen thuộc)

Xét không gian n_1.n_2...n_k chiều T với vector cơ sở có dạng \epsilon_{i_1,i_2,..,i_k} với 1\le i_j \le n_j, j=1,2,...,k.

Ta xây dựng ánh xạ k-tuyến tính  \widehat{f}: V_1\times V_2\times ...\times V_k\rightarrow T sao cho

\displaystyle f(\sum_{1\le i_1\le n_1} x_{1i_1}e_{1i_k},....,\sum_{1\le i_k\le n_k} x_{ki_k}e_{ki_k})
\displaystyle=\sum_{1\le i_j\le n_j, 1\le j\le k} x_{1i_1}x_{2i_2}...x_{ki_k}\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k}

Khi đó có ánh xạ tuyến tính \overline{f}:T\rightarrow V sao cho
\overline{f}(\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k})=f(e_{1i_1},e_{2i_2},...e_{ki_k})

Rõ ràng \overline{f}\widehat{f}=f

\overline{f} xác định thỏa mãn đẳng thức trên là duy nhất theo f

Cặp (T, \widehat{f}) xây dựng như vậy gọi là tích Tensor của V_1, V_2,...,V_k, kí hiệu T=V_1\otimes V_2\otimes...\otimes V_k

Người ta cũng kí hiệu \widehat{f}(u_1,u_2,...,u_k)= u_1\otimes u_2\otimes...\otimes u_k
với (u_1,...,u_k)\in V_1\times V_2\times ...\times V_k

Và do đó:

\epsilon_{i_1,i_2,..,i_k}= \widehat{f}(e_{1i_1},e_{2i_2},...,e_{ki_k})= e_{1i_1}\otimes e_{2i_2}\otimes...\otimes e_{ki_k}