Archive

Posts Tagged ‘Matrix Equations’

Phương trình dạng đa thức với hệ số vô hướng

October 24, 2008 Leave a comment

Nếu f(\lambda)=\sum_{k}a_k{\lambda}^k\in \mathbb{R}[X] là đa thức, hay tổng quát hơn là một khai triển hình thức có các nghiệm (nói chung là phức) {\lambda}_1,{\lambda}_2, ..., {\lambda}_m ứng với các bội là a_1, a_2,... ,a_m, khi đó một câu hỏi đặt ra là tìm tất cả các ma trận vuông X cấp n thỏa mãn: f(X)=0

Đặt X=TX'T^{-1}

trong đó X' là dạng chuẩn tắc Jordan của X. Rõ ràng đa thức tối thiểu của X phải chứa các nhân tử có dạng (\lambda-{\lambda}_i)^{p_i} với p_i\le a_i.

Như vậy X’ phải có dạng X'=diag(R_{{\lambda}_{i_1}}^{p_{i_1}},R_{{\lambda}_{i_2}}^{p_{i_2}},...,R_{{\lambda}_{i_s}}^{p_{i_s}})
trong đó R_{{\lambda}_{i_k}}^{p_{i_k}} là kí hiệu khối Jordan có chiều là p_{i_k} ứng với {\lambda}_{i_k}
với i_1,i_2,...,i_s = 1,2,...p_{i_1}\le a_{i_1}, p_{i_2}\le a_{i_2}, ..., p_{i_s}\le a_{i_s}, p_{i_1}+p_{i_2}+...+p_{i_s}=n

Thí dụ:
1. Pt X^m=0

Từ đây ta có kết luận mọi ma trận lũy linh có dạng X=T diag( J_{p_1}, J_{p_2},..., J_{p_s})T^{-1}
trong đó trong đó J_k là ma trận vuông cấp k có dạng

2. Pt X^2=X, mọi nghiệm có dạng X=T diag(1,1,...,1,0,...,0) T^{-1} trong đó tổng số các số 0 và 1 bằng n

Advertisements
Categories: Matrix Theory Tags:

Phương trình Ma trận bậc nhất

July 20, 2008 Leave a comment

Xin được bắt đầu về các phương trình ma trận với bài toán đơn giản nhất:

Bài toán 1: Tìm tất cả các ma trận có chiều thỏa

với các ma trận vuông cấp , cấp đã cho.

Phương trình trên tương đương với

trong đó là dạng chuẩn tắc Jordan của (bạn đọc tự kiểm chứng)

Giả sử

với là các giá trị riêng của
là các giá trị riêng của
và các chỉ số là chiều của các ma trận khối tương ứng
Lúc này xem như là ma trận gồm các khối chữ nhật có chiều là

Khi đó, dễ dàng thu được

trong đó là ma trận vuông cấp k có dạng

a. Trường hợp

bằng quy nạp theo suy ra

chọn . Khi đó

b. Trường hợp . Ta có

Khi đó là ma trận có dạng:

+Nếu

+Nếu

+Nếu

Một bài tập nhỏ: Xác định không gian nghiệm của phương trình , trong đó

Bài toán 2: Tìm tất cả các ma trận có chiều thỏa
với các ma trận vuông cấp , cấp đã cho.

Nghiệm của phương trình trên
trong đó là nghiệm riêng của phương trình đã cho, là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất . (bạn đọc hãy kiểm chứng)