Archive

Posts Tagged ‘Matrix Inequalities’

Bất đẳng thức liên quan đến giá trị kì dị của ma trận

June 4, 2009 Leave a comment

Đối với hệ vector ta ký hiệu

Mệnh đề 1: Nếu là các giá trị riêng của  thế thì với hệ vector thì

Đặt \{e_1,e_2,...,e_n\} là cơ sở trực chuẩn cũng đồng thời là các vector riêng của toán tử A.

Ta có (Ax_i,x_j)=\sum_{k=1}^n\alpha_k(x_i,e_k)\overline{(x_j,e_k)}=\sum_{k=1}^n\alpha_k(x_i,e_k)(e_k,x_j)

Khai triển theo công thức Binet-Cauchy ta nhận được

\Gamma(Ax_i,x_j)=\sum_{1\le k_1<...<k_m\le n}\Gamma(x_i,\alpha_k e_k)\Gamma(e_k,x_j)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

(\Gamma(Ax_i,x_j))^2\le (\sum_{1\le k_1<...<k_m\le n}(\Gamma(x_i,\alpha_k e_k))^2)(\sum_{1\le k_1<...<k_m\le n}(\Gamma(e_k,x_j))^2)

\le \alpha_1^2\alpha_2^2...\alpha_m^2 (\Gamma(x_i,x_j))^2

Mệnh đề 2: Giả sử là các giá trị riêng của (singular values). Thế thì với bất kì hệ vector () thì

Điều này hiển nhiên là hệ quả của mệnh đề 1.

Mệnh đề 3: Cho AB – toán tử tuyến tính trong \mathbb{R}, , là giá trị riêng của toán tử tương ứng, được đánh số thứ tự giảm dần theo giá trị. Chứng minh với ta có

Giả sử là cơ sở trực chuẩn hợp từ cơ sở trực chuẩn cũng đồng thời là các vector riêng của

(Áp dụng MĐ2 hai lần)

Advertisements