Matrix Theory

Bất đẳng thức liên quan đến giá trị kì dị của ma trận


Đối với hệ các vector \{x_1,x_2,...,x_m\}\{y_1,y_2,...,y_m\} ta ký hiệu
\Gamma(x_i,y_j)=det\begin{pmatrix}(x_1,y_1) & (x_2,y_1) & ...& (x_m,y_1)\\(x_1,y_2) & (x_2,y_2) & ...& (x_m,y_2)\\ \dots & \dots & \dots & \dots\\(x_1,y_m) & (x_2,y_m) & \dots& (x_m,y_m) \end{pmatrix}.

Mệnh đề 1: Nếu \alpha_1\ge\alpha_2\ge\dots\ge\alpha_n là các giá trị riêng của A thế thì với hệ vector \{x_1,x_2,...,x_m\} thì

\Gamma(Ax_i,x_j)\le\alpha_1\alpha_2...\alpha_m \Gamma(x_i,x_j).

Chứng minh: Đặt \{e_1,e_2,...,e_n\} là cơ sở trực chuẩn cũng đồng thời là các vector riêng của toán tử A.

Ta có (Ax_i,x_j)=\sum_{k=1}^n\alpha_k(x_i,e_k)\overline{(x_j,e_k)}=\sum_{k=1}^n\alpha_k(x_i,e_k)(e_k,x_j).

Khai triển theo công thức Binet-Cauchy ta nhận được

\Gamma(Ax_i,x_j)=\sum_{1\le k_1<...<k_m\le n}\Gamma(x_i,\alpha_k e_k)\Gamma(e_k,x_j).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có

(\Gamma(Ax_i,x_j))^2\le (\sum_{1\le k_1<...<k_m\le n}(\Gamma(x_i,\alpha_k e_k))^2)(\sum_{1\le k_1<...<k_m\le n}(\Gamma(e_k,x_j))^2)

\le \alpha_1^2\alpha_2^2...\alpha_m^2 (\Gamma(x_i,x_j))^2.

Mệnh đề 2: Giả sử \lambda_1\ge \lambda_2\ge...\ge\lambda_n là các giá trị riêng của \sqrt{A^{*}A} (singular values). Thế thì với bất kì hệ vector \{x_1,x_2,...,x_m\} (m\le n) thì \Gamma(A x_i, A x_j)\le \lambda_1^2\lambda_2^2...\lambda_m^2\Gamma(x_i,x_j).

Điều này hiển nhiên là hệ quả của mệnh đề 1.

Mệnh đề 3: Cho AB – toán tử tuyến tính trong \mathbb{R}, C = AB, \alpha _i ,\beta _i ,\gamma _i \,(i = 1,2,...,n) là giá trị riêng của toán tử \sqrt {A^* A} ,\sqrt {B^* B} ,\sqrt {C^* C} tương ứng, được đánh số thứ tự giảm dần theo giá trị. Khi đó với ta có

Chứng minh: Giả sử là cơ sở trực chuẩn hợp từ cơ sở trực chuẩn cũng đồng thời là các vector riêng của . Ta có

(Áp dụng MĐ2 hai lần)