Archive

Posts Tagged ‘Probability’

Đạo hàm Malliavin

July 12, 2010 Leave a comment

Xét không gian Hilbert khả tách \mathcal H được trang bị tích vô hướng \langle.,.\rangle và chuẩn \|.\| tương ứng.  Thế thì tồn tại không gian xác suất (\Omega, \mathcal{G},\mu) cùng với quá trình ngẫu nhiên (W_h)_{h\in \mathcal H} tuyến tính theo quỹ đạo và ứng với mỗi h cố định thì W_h\in L^2(\Omega, \mathcal{G},\mu) là biến ngẫu nhiên Gauss, hơn nữa \mathbf{E}(W_h)=0, \mathbf{cov}(W_{h_1}W_{h_2})=\langle h_1, h_2\rangle . Xét (e_1,e_2,...) là cơ sở trực chuẩn cố định của \mathcal H.

Thí dụ:

1. \mathcal H=L^2([0,\infty) và tích phân Wiener \displaystyle W_h=\int_0^{\infty}h(t)dW_t với W_t là quá trình Wiener 1 chiều.

2. \mathcal{H}=L^2(X, \mathcal{A}, m) là không gian độ đo \sigma-hữu hạn, và không tồn tại tập có đo dương không chứa thêm tập con nào nữa có độ đo dương bé hơn (tập hạt nhân). Ồn trắng (W(A))_{A\in \mathcal{A}_f}  (\mathcal{A}_f là lớp tất cả các tập có độ đo hữu hạn, xem như là tập chỉ số) là một một quá trình Gauss  sao cho W(A)\in L^2(\Omega, \mathcal G, \mu), \mathbf{E}(W(A))=0\mathbf{cov}(W(A), W(B))=\mathcal{L}(A\cap B) (\mathcal{L} – độ đo Lebesgue) và W(A\cup B)=W(A)+W(B) nếu A\cap B=\emptyset. Với tập A có độ đo hữu hạn, đặt W(1_A)=W(A), từ đó mở rộng cho các hàm đơn giản trên X, và cuối cùng do tính trù, ta mật xây dựng được W(h) với các hàm khả tích bậc hai h\in L^2(X, \mathcal{A}, m).

Trở lại vấn đề của bài viết, kí hiệu \mathcal P là lớp tất cả các biến ngẫu nhiên có dạng

F=f(W(h_1),W(h_2),....,W(h_n)),\ h_1, h_2,...,h_n\in\mathcal{H}, \ n\ge 1, với hàm trơn f và các đạo hàm riêng của nó có độ tăng bậc đa thức. Dễ thấy \mathcal P là tập con trù mật của L^2(\Omega, \mathcal G, \mu).

Ta định nghĩa đạo hàm Malliavin của F\in \mathcal P là biến ngẫu nhiên giá trị thuộc \mathcal H:

\displaystyle DF=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_k}(W(h_1), W(h_2),...,W(h_n))h_k.

Nó thỏa mãn quy tắc Leibnitz \displaystyle D(FG)=FDG+GDF.

Các tính chất đẹp:

1. \displaystyle \mathbf{E}(\langle DF,h\rangle_{\mathcal{H}})=\mathbf{E}(FW(h))

2. \displaystyle \mathbf{E}(G\langle DF,h\rangle_{\mathcal{H}})=\mathbf{E}(-F\langle DG,h \rangle_{\mathcal{H}}+FGW(h))

Vận dụng (2) bạn có thể chứng minh tính đóng được của toán tử \displaystyle D từ \displaystyle L^p(\Omega, \mathcal{G},\mu) vào \displaystyle L^p(\Omega, \mathcal {H}) với \displaystyle p\ge 1.

Với \displaystyle p\ge 1, kí hiệu \displaystyle \mathbb{D}^{1,p} là bao đóng của \mathcal P ứng với nửa chuẩn:

\displaystyle \|F\|_{1,p}=\left(\mathbf{E}(|F|^p)+\mathbf{E}(\|DF\|_{\mathcal{H}}^p\right)^{1/p}.

Đặt biệt với \displaystyle p=2, thì \displaystyle \mathbb{D}^{1,2} xem như là không gian Hilbert với tích vô hướng:

\displaystyle \langle F, G\rangle_{1,2}= \mathbf{E}(FG)+\mathbf{E}(\langle DF, DG\rangle_{\mathcal{H}}).

Định nghĩa một cách đệ quy cho đạo hàm cấp cao \displaystyle D^kF, F\in \mathcal{P} là vector ngẫu nhiên có giá trị thuộc không gian tích tensor \displaystyle \mathcal{H}^{\otimes k}. D^k cũng là toán tử đóng được từ L^p(\Omega, \mathcal{G}, \mu) vào L^p(\Omega,\mathcal{H}^{\otimes k}).

Với \displaystyle k\in \mathbb{Z}_+, p\ge 1, kí hiệu \displaystyle \mathbb{D}^{k,p} là bao đóng của \mathcal P ứng với nửa chuẩn:

\displaystyle \|F\|_{k,p}=\left(\mathbf{E}(|X|^p)+\sum_{l=1}^k\mathbf{E}(\|D^lF\|^p_{\mathcal{H}^{\otimes k}}\|)\right)^{1/p}.

Kí hiệu

\displaystyle \mathbb{D}^{\infty}=\bigcap_{k,p} \mathbb{D}^{k,p}.

Chú ý là với \displaystyle k \ge 1, p > q ta có quan hệ lồng nhau: \displaystyle \mathbb{D}^{k,p}\subset \mathbb{D}^{k-1,q}.

Bằng cách lấy giới hạn, ta có thể xác định đạo hàm Malliavin D^kF với \displaystyle F\in\mathbb{D}^{k,p}\subset L^p(\Omega, \mathcal{G},\mu) tương ứng.

Đạo hàm Malliavin thỏa mãn luật xích theo nghĩa: Cho \displaystyle \phi:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} khả vi liên tục với các đạo hàm riêng bị chặn, các biến ngẫu nhiên \displaystyle F_1,F_2,...,F_n\in \mathbb{D}^{1,p} thế thì \displaystyle \phi(F_1,F_2,...,F_n)\in \mathbb{D}^{1,p}

\displaystyle D(\phi(F_1,F_2,...,F_n))=\sum_{k=1}^n \frac{\partial \phi}{\partial x_i}(F_1,F_2,...,F_n)DF_i.

Với \displaystyle F\in \mathbb{D}^{k,p}, G\in \mathbb{D}^{k,q}, k\in \mathbb{Z}_+, 1<p,q<\infty\displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q} thế thì \displaystyle FG\in \mathbb{D}^{k,r} và bất đẳng thức loại Holder sau được thỏa mãn

\displaystyle\|FG\|_{k,r}\le C(p,q,k)\|F\|_{k,p}\|G\|_{k,q},

ở đây \displaystyle C(p,q,k) là hằng số nào đó chỉ phụ thuộc \displaystyle p,q,k.

Advertisements

Toán tử Ornstein-Uhlenbeck

July 12, 2010 Leave a comment

Trường hợp hữu hạn chiều

Cho không gian xác suất (\mathbb{R}^m, \mathfrak{B}(\mathbb{R}^m), \mu ) với \mathfrak{B}(\mathbb{R}^m)\sigma-đại số Borel trên \mathbb{R}^m\mu là độ đo Gauss:

\displaystyle\mu(dx)=\frac{1}{(2\pi)^{m/2}} e^{-|x|^2/2}dx.

Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên

\displaystyle dX_t=\sqrt{2}dW_t-X_tdt, với W_t là quá trình Wiener trong \mathbb{R}^m.

Áp dụng công thức Ito thế thì

\displaystyle X_t(x)=e^{-t}x+\sqrt{2}\int_0^t e^{-(t-s)}dW_s.

Ta định nghĩa toán tử P_t xác định trên L^p(\mathbb{R}^m, \mu), p\ge 1

\displaystyle P_t f(x)=\mathbf{E}(f(X_t(x))=\int_{\mathbb{R}^m} f(e^{-t}x+\sqrt{1-e^{-2t}}y)\mu(dy), \ t\ge 0.

Các tính chất đẹp:

1. P_t là toán tử nửa nhóm trên L^p(\mathbb{R}^m, \mu)

2. \displaystyle \| P_tf(x)\|_{L^p(\mathbb{R}^m, \mu)} \le \| f\|_{L^p(\mathbb{R}^m, \mu)}, p\ge 1

3. P_t là toán tử đối xứng trên L^2(\mathbb{R}^m, \mu)

4.  P_t thu hẹp trên C_b^2(\mathbb{R}^m) có  infinitesimal generator là L_m=\Delta-x.\nabla

Mở rộng trên không gian Hilbert khả tách

Giả sử không gian Hilbert khả tách \mathcal H ứng với tích vô hướng \langle.,.\rangle và chuẩn \|.\| tương ứng.  Thế thì tồn tại không gian xác suất (\Omega, \mathcal{G},\mu) cùng với quá trình ngẫu nhiên (W_h)_{h\in \mathcal H} tuyến tính theo quỹ đạo và ứng với mỗi h cố định thì W_h là biến ngẫu nhiên Gauss hơn nữa \mathbf{E}(W_h)=0, \mathbf{cov}(W_{h_1}W_{h_2})=\langle h_1, h_2\rangle . Xét (e_1,e_2,...) là cơ sở trực chuẩn của \mathcal H.

Trên không gian L^p(\Omega, \mu), p\ge 1 các biến ngẫu nhiên khả tích bậc p, xác định toán tử

\displaystyle P_t F=\int_{\Omega}F(e^{-t}\omega +\sqrt{1-e^{-2t}}\chi)\mu(d\chi), \ t\ge 0.

Các tính chất (1-2-3) trong trường hợp hữu hạn chiều P_t vẫn đúng trên (\Omega, \mathcal{G},\mu).

Với bộ chỉ số a=(a_1,a_2,...),\ a_i\in \mathbb{Z_+}, đặt

trong đó sử dụng kí hiệu đa thức Hermite
\displaystyle H_n(x)=\frac{1}{n!}\frac{d^n}{dt^n}\left. e^{-t^2/2+tx}\right|_{t=0}.

Không khó khăn để kiểm tra (H_a) lập thành cơ sở trực chuẩn của L^2(\Omega,\mathcal G, \mu).

Kí hiệu \mathcal{W}_n là không gian con đóng của không gian Hilbert L^2(\Omega,\mathcal G, \mu) sinh bởi hệ trực chuẩn (H_a, \sum_{k=1}^{\infty}{|a_k|}=n). Khi đó ta có biểu diễn hỗn độn Wiener
L^2(\Omega,\mathcal G, \mu)=\bigoplus_{n=0}^{\infty} \mathcal{W}_n
và không gian \mathcal{W}_n gọi là hỗn độn Wiener thứ \displaystyle n.

Toán tử P_t được phân tích theo các toán tử chiếu trực giao \displaystyle J_n từ \displaystyle L^2(\Omega,\mathcal G, \mu) xuống  \displaystyle \mathcal{W}_n như sau

với F\in L^2(\Omega,\mathcal G, \mu)

Ta xác định được

là infinitesimal generator của toán tử nửa nhóm P_t thu hẹp trên miền

L được gọi là toán tử Ornstein-Uhlenbeck, nó cùng với đạo hàm Malliavin và tích phân Skorohod là 3 toán tử nền tảng nhất của ngành Biến phân ngẫu nhiên.

Xác suất hai số nguyên dương nguyên tố cùng nhau


Đầu tiên xét bài toán: “Tìm số cặp sao cho “.

Với phân tích chính tắc , nếu b thỏa mãn thì b chia hết ít nhất một trong các ước nguyên tố của . Số các số b như vậy nằm từ 1 đến n là:

Lần lượt cho nhận giá trị từ 1 đến và lấy tổng các giá trị m(b), chú ý số lần lặp của số hạng đúng bằng số các số nằm từ 1 đến n chia hết cho , và bằng

Do đó, theo quy tắc cộng dễ dàng thu được số các bộ thỏa mãn

trong đó các các số nguyên tố từ 1 đến

Ta kí hiệu các số các bộ này ứng với n là l(n)

Ta nhận thấy rằng P=1-\lim_{n\to\infty}\frac{l(n)}{n^2} sẽ bằng xác suất để 2 số nguyên dương được chọn ngẫu nhiên là nguyên tố cùng nhau. Ta đi tìm xác suất thú vị này theo một cách khác.

Chú ý là xác suất để hai số tự nhiên ngẫu nhiên ko nhận số nguyên tố p làm ước số sẽ là
Từ đó ta có xác xuất cần tính sẽ là


Ta lại chú ý công thức

nên ta viết lại P dưới dạng

Ta chú ý đến định lí Unique Factorization thì mỗi số tự nhiên điều biểu diễn duy nhất dưới dạng tích các số nguyên tố

Và ta thấy trong tích trên chứa đủ các số có dạng trên nên ta viết lại tích dưới dạng

(update from http://mathvn.org)

Categories: Combinatorics Tags: ,