Tag: Malliavin Calculus

Stochastic Calculus of Variations

Đạo hàm Malliavin

Tuan Minh

Xét không gian Hilbert khả tách \mathcal H được trang bị tích vô hướng \langle.,.\rangle và chuẩn \|.\| tương ứng.  Thế thì tồn tại không gian xác suất (\Omega, \mathcal{G},\mu) cùng với quá trình ngẫu nhiên (W_h)_{h\in \mathcal H} tuyến tính theo quỹ đạo và ứng với mỗi h cố định thì W_h\in L^2(\Omega, \mathcal{G},\mu) là biến ngẫu nhiên Gauss, hơn nữa \mathbf{E}(W_h)=0, \mathbf{cov}(W_{h_1}W_{h_2})=\langle h_1, h_2\rangle . Xét (e_1,e_2,...) là cơ sở trực chuẩn cố định của \mathcal H.

Thí dụ:

1. \mathcal H=L^2([0,\infty) và tích phân Wiener \displaystyle W_h=\int_0^{\infty}h(t)dW_t với W_t là quá trình Wiener 1 chiều.

2. \mathcal{H}=L^2(X, \mathcal{A}, m) là không gian độ đo \sigma-hữu hạn, và không tồn tại tập có đo dương không chứa thêm tập con nào nữa có độ đo dương bé hơn (tập hạt nhân). Ồn trắng (W(A))_{A\in \mathcal{A}_f}  (\mathcal{A}_f là lớp tất cả các tập có độ đo hữu hạn, xem như là tập chỉ số) là một một quá trình Gauss  sao cho W(A)\in L^2(\Omega, \mathcal G, \mu), \mathbf{E}(W(A))=0 và \mathbf{cov}(W(A), W(B))=\mathcal{L}(A\cap B) (\mathcal{L} – độ đo Lebesgue) và W(A\cup B)=W(A)+W(B) nếu A\cap B=\emptyset. Với tập A có độ đo hữu hạn, đặt W(1_A)=W(A), từ đó mở rộng cho các hàm đơn giản trên X, và cuối cùng do tính trù, ta mật xây dựng được W(h) với các hàm khả tích bậc hai h\in L^2(X, \mathcal{A}, m).

Trở lại vấn đề của bài viết, kí hiệu \mathcal P là lớp tất cả các biến ngẫu nhiên có dạng

F=f(W(h_1),W(h_2),....,W(h_n)),\ h_1, h_2,...,h_n\in\mathcal{H}, \ n\ge 1, với hàm trơn f và các đạo hàm riêng của nó có độ tăng bậc đa thức. Dễ thấy \mathcal P là tập con trù mật của L^2(\Omega, \mathcal G, \mu).

Ta định nghĩa đạo hàm Malliavin của F\in \mathcal P là biến ngẫu nhiên giá trị thuộc \mathcal H:

\displaystyle DF=\sum_{k=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_k}(W(h_1), W(h_2),...,W(h_n))h_k.

Nó thỏa mãn quy tắc Leibnitz \displaystyle D(FG)=FDG+GDF.

Các tính chất đẹp:

1. \displaystyle \mathbf{E}(\langle DF,h\rangle_{\mathcal{H}})=\mathbf{E}(FW(h))

2. \displaystyle \mathbf{E}(G\langle DF,h\rangle_{\mathcal{H}})=\mathbf{E}(-F\langle DG,h \rangle_{\mathcal{H}}+FGW(h))

Vận dụng (2) bạn có thể chứng minh tính đóng được của toán tử \displaystyle D từ \displaystyle L^p(\Omega, \mathcal{G},\mu) vào \displaystyle L^p(\Omega, \mathcal {H}) với \displaystyle p\ge 1.

Với \displaystyle p\ge 1, kí hiệu \displaystyle \mathbb{D}^{1,p} là bao đóng của \mathcal P ứng với nửa chuẩn:

\displaystyle \|F\|_{1,p}=\left(\mathbf{E}(|F|^p)+\mathbf{E}(\|DF\|_{\mathcal{H}}^p\right)^{1/p}.

Đặt biệt với \displaystyle p=2, thì \displaystyle \mathbb{D}^{1,2} xem như là không gian Hilbert với tích vô hướng:

\displaystyle \langle F, G\rangle_{1,2}= \mathbf{E}(FG)+\mathbf{E}(\langle DF, DG\rangle_{\mathcal{H}}).

Định nghĩa một cách đệ quy cho đạo hàm cấp cao \displaystyle D^kF, F\in \mathcal{P} là vector ngẫu nhiên có giá trị thuộc không gian tích tensor \displaystyle \mathcal{H}^{\otimes k}. D^k cũng là toán tử đóng được từ L^p(\Omega, \mathcal{G}, \mu) vào L^p(\Omega,\mathcal{H}^{\otimes k}).

Với \displaystyle k\in \mathbb{Z}_+, p\ge 1, kí hiệu \displaystyle \mathbb{D}^{k,p} là bao đóng của \mathcal P ứng với nửa chuẩn:

\displaystyle \|F\|_{k,p}=\left(\mathbf{E}(|X|^p)+\sum_{l=1}^k\mathbf{E}(\|D^lF\|^p_{\mathcal{H}^{\otimes k}}\|)\right)^{1/p}.

Kí hiệu

\displaystyle \mathbb{D}^{\infty}=\bigcap_{k,p} \mathbb{D}^{k,p}.

Chú ý là với \displaystyle k \ge 1, p > q ta có quan hệ lồng nhau: \displaystyle \mathbb{D}^{k,p}\subset \mathbb{D}^{k-1,q}.

Bằng cách lấy giới hạn, ta có thể xác định đạo hàm Malliavin D^kF với \displaystyle F\in\mathbb{D}^{k,p}\subset L^p(\Omega, \mathcal{G},\mu) tương ứng.

Đạo hàm Malliavin thỏa mãn luật xích theo nghĩa: Cho \displaystyle \phi:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} khả vi liên tục với các đạo hàm riêng bị chặn, các biến ngẫu nhiên \displaystyle F_1,F_2,...,F_n\in \mathbb{D}^{1,p} thế thì \displaystyle \phi(F_1,F_2,...,F_n)\in \mathbb{D}^{1,p} và

\displaystyle D(\phi(F_1,F_2,...,F_n))=\sum_{k=1}^n \frac{\partial \phi}{\partial x_i}(F_1,F_2,...,F_n)DF_i.

Với \displaystyle F\in \mathbb{D}^{k,p}, G\in \mathbb{D}^{k,q}, k\in \mathbb{Z}_+, 1<p,q<\infty và \displaystyle \frac{1}{r}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q} thế thì \displaystyle FG\in \mathbb{D}^{k,r} và bất đẳng thức loại Holder sau được thỏa mãn

\displaystyle\|FG\|_{k,r}\le C(p,q,k)\|F\|_{k,p}\|G\|_{k,q},

ở đây \displaystyle C(p,q,k) là hằng số nào đó chỉ phụ thuộc \displaystyle p,q,k.

Stochastic Calculus of Variations

Toán tử Ornstein-Uhlenbeck

Tuan Minh

Trường hợp hữu hạn chiều

Cho không gian xác suất (\mathbb{R}^m, \mathfrak{B}(\mathbb{R}^m), \mu ) với \mathfrak{B}(\mathbb{R}^m) là \sigma-đại số Borel trên \mathbb{R}^m và \mu là độ đo Gauss:

\displaystyle\mu(dx)=\frac{1}{(2\pi)^{m/2}} e^{-|x|^2/2}dx.

Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên

\displaystyle dX_t=\sqrt{2}dW_t-X_tdt, với W_t là quá trình Wiener trong \mathbb{R}^m.

Áp dụng công thức Ito thế thì

\displaystyle X_t(x)=e^{-t}x+\sqrt{2}\int_0^t e^{-(t-s)}dW_s.

Ta định nghĩa toán tử P_t xác định trên L^p(\mathbb{R}^m, \mu), p\ge 1

\displaystyle P_t f(x)=\mathbf{E}(f(X_t(x))=\int_{\mathbb{R}^m} f(e^{-t}x+\sqrt{1-e^{-2t}}y)\mu(dy), \ t\ge 0.

Các tính chất đẹp:

1. P_t là toán tử nửa nhóm trên L^p(\mathbb{R}^m, \mu)

2. \displaystyle \| P_tf(x)\|_{L^p(\mathbb{R}^m, \mu)} \le \| f\|_{L^p(\mathbb{R}^m, \mu)}, p\ge 1

3. P_t là toán tử đối xứng trên L^2(\mathbb{R}^m, \mu)

4.  P_t thu hẹp trên C_b^2(\mathbb{R}^m) có  infinitesimal generator là L_m=\Delta-x.\nabla

Mở rộng trên không gian Hilbert khả tách

Giả sử không gian Hilbert khả tách \mathcal H ứng với tích vô hướng \langle.,.\rangle và chuẩn \|.\| tương ứng.  Thế thì tồn tại không gian xác suất (\Omega, \mathcal{G},\mu) cùng với quá trình ngẫu nhiên (W_h)_{h\in \mathcal H} tuyến tính theo quỹ đạo và ứng với mỗi h cố định thì W_h là biến ngẫu nhiên Gauss hơn nữa \mathbf{E}(W_h)=0, \mathbf{cov}(W_{h_1}W_{h_2})=\langle h_1, h_2\rangle . Xét (e_1,e_2,...) là cơ sở trực chuẩn của \mathcal H.

Trên không gian L^p(\Omega, \mu), p\ge 1 các biến ngẫu nhiên khả tích bậc p, xác định toán tử

\displaystyle P_t F=\int_{\Omega}F(e^{-t}\omega +\sqrt{1-e^{-2t}}\chi)\mu(d\chi), \ t\ge 0.

Các tính chất (1-2-3) trong trường hợp hữu hạn chiều P_t vẫn đúng trên (\Omega, \mathcal{G},\mu).

Với bộ chỉ số a=(a_1,a_2,...),\ a_i\in \mathbb{Z_+}, đặt

H_a=\sqrt{\prod_{k=1}^{\infty}a_k!}\prod_{k=1}^{\infty}H_{a_i}(W(e_i))

trong đó sử dụng kí hiệu đa thức Hermite

\displaystyle H_n(x)=\frac{1}{n!}\frac{d^n}{dt^n}\left. e^{-t^2/2+tx}\right|_{t=0}.

Không khó khăn để kiểm tra (H_a) lập thành cơ sở trực chuẩn của L^2(\Omega,\mathcal G, \mu).

Kí hiệu \mathcal{W}_n là không gian con đóng của không gian Hilbert L^2(\Omega,\mathcal G, \mu) sinh bởi hệ trực chuẩn (H_a, \sum_{k=1}^{\infty}{|a_k|}=n). Khi đó ta có biểu diễn hỗn độn Wiener

L^2(\Omega,\mathcal G, \mu)=\bigoplus_{n=0}^{\infty} \mathcal{W}_n

và không gian \mathcal{W}_n gọi là hỗn độn Wiener thứ \displaystyle n.

Toán tử P_t được phân tích theo các toán tử chiếu trực giao \displaystyle J_n từ \displaystyle L^2(\Omega,\mathcal G, \mu) xuống \displaystyle \mathcal{W}_n như sau

\displaystyle P_tF=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-nt}J_n(F),

với F\in L^2(\Omega,\mathcal G, \mu).

Ta xác định được

L=\sum_{n=0}^{\infty}(-n) J_n

là infinitesimal generator của toán tử nửa nhóm P_t thu hẹp trên miền
\displaystyle \text{Dom} L=\{ F\in L^2(\Omega,\mathcal{G}, \mu) \ | \ \sum_{n=1}^{\infty} n^2 \| J_n F \|^2_{L^2(\Omega,\mathcal G, \mu)} <\infty \}.

L được gọi là toán tử Ornstein-Uhlenbeck, nó cùng với đạo hàm Malliavin và tích phân Skorohod là 3 toán tử nền tảng nhất của Giải tích Malliavin hay còn gọi là Lý thuyết biến phân ngẫu nhiên.